Regola della leva

Regola della leva

Quando la soluzione (fase liquida) è in equilibrio con i suoi vapori (fase gassosa) è presente un sistema bifasico di cui possiamo calcolare le percentuali relative (in massa) delle due fasi in equilibrio. La frazione molare Z_A totale (vapore + liquido) del sistema bifasico sarà evidentemente compresa tra quella del gas e quella del liquido (Y_A > Z_A > c_A) ed il suo valore sarà correlato al rapporto molare tra fase gassosa e fase liquida (n_g/n_l)

Consideriamo il componente A più volatile ed indichiamo con

n_g                                 = numero di moli presenti nella fase gassosa

n_l                                 = numero di moli presenti nella fase liquida

n = n_g + n_l                    = numero di moli totali, presenti in entrambe le fasi in equilibrio

n_g Y _A          = numero di moli di A presenti nella fase gassosa

n_l c_A            = numero di moli di A presenti nella fase liquida

n Z_A = (n_g + n_l) Z_A       = numero di moli di A presenti in entrambe le fasi

Ora, applichiamo il principio di conservazione della massa ed eseguiamo il bilancio di materia. Il numero totale di moli di A (presenti in entrambe le fasi) dovrà essere uguale alla somma delle moli di A  in fase liquida ed in fase gassosa. Possiamo allora scrivere

(n_g + n_l) Z_A = n_l c_A + n_g Y _A

da cui

n_g Z_A + n_l Z_A = n_l c_A + n_g Y _A

n_g Z_A + n_l Z_A = n_l c_A + n_g Y _A

raccogliendo n_g ed n_l, si arriva infine alla relazione seguente che costituisce la regola della leva

n_g (Y _A - Z_A) = n_l (Z_A - c_A

Il nome si deve al fatto che la relazione è analoga a quella che fornisce la condizione di equilibrio di una leva in cui il prodotto della forza F₁ per il suo braccio b₁ deve essere uguale al prodotto della forza F₂ per il suo braccio b₂. Dunque il numero di moli contenute in ciascuna fase stanno tra loro in modo inversamente proporzionale ai segmenti congiungenti i punti che rappresentano le fasi con il punto che fornisce la composizione  chimica media Z_A del sistema bifasico.

La lunghezza della congiungente il punto indicante la composizione globale Z_A della miscela con quello indicante la composizione della singola fase è inversamente proporzionale alla percentuale

di quella fase presente.

Dunque il numero di moli presenti nella fase gassosa è proporzionale al segmento G, mentre il numero di moli di A presenti nella fase liquida è proporzionale al segmento L.

Applicando la medesima regola è possibile calcolare non solo il rapporto molare tra fase gassosa e fase liquida (n_g/n_l), ma anche la frazione molare del sistema bifasico presente in una determinata fase. Ricordando infatti che la lunghezza del segmento L è proporzionale al numero di moli in fase liquida, mentre la lunghezza del segmento G è proporzionale al numero di moli in fase gassosa, potremo scrivere

e

dove

= frazione delle moli totali presente sotto forma di vapore

= frazione delle moli totali presente sotto forma di liquido

In un sistema bifasico liquido-vapore in reciproco equilibrio la frazione molare totale Z (vapore + liquido) è ovviamente costante. Se tuttavia sottoponiamo il sistema ad una variazione di pressione, esso si riassesta verso una nuova condizione di equilibrio in cui varia il rapporto quantitativo tra la fase liquida e quella di vapore e le concentrazioni delle singole fasi.

In particolare, diminuendo la pressione il sistema si sposta verso la fase di vapore (una maggior quantità di liquido evapora) ed entrambe le fasi risultano meno concentrate nel componente più volatile.

Si tenga presente che la regola della leva  rimane valida anche usando le percentuali in peso (massa) al posto delle frazioni molari. Ovviamente in questo caso si troveranno valori numerici diversi.

Esempio

Trasformiamo i dati dell'esempio precedente nelle corrispondenti percentuali in massa, sapendo che il peso molare dell'esano è 86 g/mol, mentre quello dell'ottano è 114 g/mol.

Avevamo un sistema bifasico equimolare (Z = 0.5) in cui il 45,1% delle moli totali si trovava sotto forma di vapore contenente l'81,1% di esano, mentre il rimanente 54,9% delle molecole totali si trovava in fase liquida con il 24,4 % di esano.

la frazione molare dell'esano Z = 0.5, espressa come percentuale in massa, diventa

Calcoliamo la massa dell'esano presente in 0.451 moli di vapore

0.451 x 0.811 x 86 = 31.46 g

Calcoliamo la massa dell'ottano presente in 0.451 moli di vapore

0.451 x (1-0.811) x 114 = 9.72 g

Dunque 0.451 moli di vapore pesano 31.46 + 9.72 = 41.18 g e contengono una percentuale in massa di esano pari a

%m _Gas = 31.46/41.18 = 0.764

Calcoliamo la massa dell'esano presente in 0.549 moli di soluzione

0.549 x 0.244 x 86 = 11.52 g

Calcoliamo la massa dell'ottano presente in 0.549 moli di vapore

0.549 x (1-0.244) x 114 = 47.31 g

Dunque 0.549 moli di fase liquida pesano 11.52+47.31=58.83 g e contengono una percentuale in massa di esano pari a

%m _Liq = 11.52/58.83 = 0.196

Calcoliamo la percentuale in massa del sistema presente in fase gassosa

Verifichiamo che tale valore poteva essere ottenuto applicando la regola della leva