La curvatura dello spazio-tempo e le geometrie non-euclidee

La curvatura dello spazio-tempo e le geometrie non-euclidee

Secondo Einstein è possibile sostituire il modello newtoniano in cui la gravità si manifesta come una forza attrattiva, con un modello in cui la gravità viene concepita come una manifestazione della geometria dello spazio. In altre parole la presenza di materia è in grado di curvare lo spazio-tempo (cronòtopo). I corpi quindi, in assenza di forze gravitazionali, obbedendo al principio di inerzia si muovono nello spazio di moto rettilineo uniforme. Ma essendo lo spazio in cui si muovono curvo, essi seguono delle traiettorie non rette, pur continuando tali traiettorie ad essere i percorsi più brevi tra due punti.

Oltre a curvature locali, presenti ad esempio intorno ad una stella o ad un pianeta, è possibile concepire una curvatura complessiva che caratterizza l'intero universo e la cui entità dipende dalla densità effettiva  in esso presente.

Nelle equazioni relativistiche k rappresenta una misura della curvatura dello spazio-tempo ed è detto indice di curvatura.

Se dunque la densità di materia presente nell'universo condiziona la geometria dello spazio curvandolo, in uno spazio curvo la geometria euclidea non può più essere utilizzata.

A ciascuno dei tre modelli di espansione è quindi possibile associare una caratteristica curvatura spazio temporale ed in definitiva una particolare geometria.

Fino agli inizi dell'Ottocento l'unica geometria conosciuta era quella formalizzata da Euclide a partire da cinque postulati, tra cui il 5°, noto anche come postulato 'delle parallele'.

Nella prima metà dell'Ottocento si fece strada l'idea che altre geometrie fossero possibili, soprattutto ad opera di Gauss, Riemann, Bolyai e Lobacevskij. Già nel '700 il padre gesuita Gerolamo Saccheri, tentando di dimostrare il quinto postulato aveva costruito una geometria fondata sui primi quattro, che violava volutamente il quinto. Egli sperava così di ottenere una costruzione priva di coerenza interna in modo da ottenere una dimostrazione per assurdo del quinto postulato. Ottenne invece una geometria lontana dal senso comune, ma perfettamente coerente.

Fu solo nella prima metà dell'Ottocento che si arrivò ad accettare l'idea che geometrie non-euclidee (così sono dette le geometrie che violano il quinto postulato) potessero essere formalizzate fondandosi puramente sul principio di non contraddizione.

Esistono due tipi fondamentali di geometrie non-euclidee:

- Le prime che affermano che per un punto esterno ad una retta data non passa alcuna parallela (geometria ellittica o sferica Riemann (1854)).

- Le seconde che affermano che per un punto esterno ad una retta data passano infinite parallele (geometria iperbolica - Lobacevskij (1829) Bolyai (1932)).  

Ma durante la prima metà dell'ottocento la geometria subì una più radicale e generale revisione dei suoi fondamenti.

A Gauss (1827) si deve l'introduzione di un parametro k in grado di misurare la curvatura di una superficie. Mentre a Riemann (1854) si deve probabilmente la più importante generalizzazione del concetto di geometria. Egli dimostrò infatti che la geometria a tre dimensioni può essere considerata come un caso particolare di geometrie che descrivono spazi con un numero qualsivoglia di dimensioni (iperspazi o spazi riemanniani).

A Riemann si deve in un certo senso anche l'introduzione del concetto di metrica.  La metrica in uno spazio a due dimensioni si riduce ad una applicazione del teorema di Pitagora attraverso cui è possibile calcolare la distanza tra due punti di cui sono note le coordinate.

La lunghezza del segmento L in un piano cartesiano si ottiene, come è noto, tramite la relazione pitagorica . Riemann generalizzò tale relazione ad uno spazio qualsiasi ad n dimensioni, riuscendo inoltre ad  ottenere una relazione per calcolarne la curvatura.

Nella seconda metà dell'800 si accetta dunque  l'idea che spazi curvi a più dimensioni possano essere descritti attraverso geometrie di tipo diverso da quella di Euclide

La rivoluzione che si consumò in campo geometrico in quegli anni ebbe profonde conseguenze sul modo stesso di concepire il processo di dimostrazione in matematica. Fino ad allora la dimostrazione era intesa come una riduzione all'evidenza, cioè come procedimento logico atto a far discendere la verità di una proposizione da verità indimostrabili ed evidenti di per sé (assiomi e postulati). Nella nuova geometria gli assiomi non sono né evidenti né intuitivi e quindi la dimostrazione diventa in tal caso un procedimento formale di riduzione agli assiomi. Una teoria può dunque dirsi dimostrata ed essere accettata solo in quanto dotata di coerenza interna.

Le geometrie non euclidee rimasero comunque allo stato di  pura speculazione teorica fino a quando la teoria della relatività generale non dimostrò che la materia era in grado di curvare lo spazio tempo quadridimensionale.

Poiché non siamo in grado di concepire e rappresentarci concretamente uno spazio curvo a tre dimensioni (e tanto meno a quattro, se consideriamo anche la dimensione temporale) è conveniente pensare allo spazio come ad una superficie a due dimensioni. In altre parole è possibile rendere evidenti gli spazi curvi lavorando su modelli euclidei a due dimensioni (Beltrami 1868). Tutte le considerazioni che faremo potranno poi essere estese (con un po' di fantasia) ed utilizzate per descrivere lo spazio tridimensionale e  la geometria dell'intero universo .

Quando si lavora su superfici (o spazi) curve le distanze non possono più essere misurate tramite rette, ma tramite linee curve. In una superficie piana la retta rappresenta la distanza più breve tra due punti. In una superficie curva la distanza più breve tra due punti è una linea curva detta geodetica. Le rette sono le geodetiche delle superfici piane.

superfici sferiche e universo ellittico k > 0

Le superfici sferiche sono superfici a curvatura costante positiva. Le geodetiche di una superficie sferica sono archi di cerchio massimo (un cerchio massimo si ottiene intersecando la superficie con piani passanti per il centro). Non esistono due geodetiche parallele poiché tutte si intersecano in due punti opposti. Tale superficie deve essere dunque descritta tramite una geometria non euclidea (ellittica). Costruendo un triangolo con tre archi di geodetica si può facilmente verificare che la somma degli angoli interni è sempre maggiore di 180°. Muovendosi lungo una geodetica si può ritornare al punto di partenza. L'universo sarebbe caratterizzato da una geometria di questo tipo, naturalmente con tre dimensioni spaziali, se la sua densità effettiva fosse maggiore della sua densità critica. In tal caso l'eccesso di materia produrrebbe una curvatura costante positiva. Un universo caratterizzato da una geometria ellittica è anche un universo chiuso, destinato a fermare la sua espansione e a contrarsi.

In un tale universo un raggio di luce, costretto a seguire le traiettorie più brevi e quindi una geodetica, si ritroverebbe al punto di partenza dopo aver attraversato tutto lo spazio.

superfici iperboliche e universo iperbolico  k < 0

Le superfici iperboliche sono superfici a curvatura costante negativa. Possiamo immaginarle come una superficie 'a sella'. In queste superfici esistono infinite geodetiche  che passano per un punto esterno ad una geodetica data senza mai intersecarsi con questa. Tale superficie deve essere quindi descritta tramite una geometria non-euclidea (iperbolica). Costruendo un triangolo con tre archi di geodetica si può verificare come la somma degli angoli interni è minore di 180°.

L'universo sarebbe caratterizzato da una geometria di questo tipo, naturalmente con tre dimensioni spaziali, se la sua densità effettiva fosse minore della sua densità critica. Dunque un universo che contiene una quantità talmente bassa di materia da produrre una curvatura costante negativa. Un universo caratterizzato da una geometria iperbolica è anche un universo aperto, destinato ad espandersi per sempre.

superfici piane e universo piatto o euclideo k = 0

Le superfici piane sono superfici a curvatura nulla. In esse vale la geometria euclidea (parabolica). L'universo sarebbe caratterizzato da una geometria di questo tipo, naturalmente con tre dimensioni spaziali, se la sua densità effettiva fosse uguale alla sua densità critica.

Un universo caratterizzato da una geometria euclidea è anch'esso un universo aperto, destinato ad espandersi per sempre.

Se noi fossimo in grado di tracciare un enorme triangolo con dei raggi laser nello spazio e poi ne misurassimo la somma degli angoli interni potremmo capire in che tipo di spazio viviamo (piano, sferico o iperbolico) e di conseguenza quale sarà il destino dell'universo (aperto o chiuso).

I termini 'ellittica, iperbolica e parabolica' utilizzati per indicare i 3 modelli di universo e le relative geometrie sono legati al fatto che le orbite ellittiche, iperboliche e paraboliche sono (come dimostrò Newton) gli unici tipi di traiettorie possibili di un corpo intorno al sole, a seconda che la sua energia cinetica sia minore, maggiore o uguale alla sua energia potenziale (le circonferenze sono casi particolari di orbite ellittiche).