Tesina per il colloquio all'esame di Stato - TOPOLOGIA

Tesina per il colloquio all'esame di Stato

TOPOLOGIA

Dal 26 al 29 marzo 2007 ho avuto la possibilità di partecipare alla Bottega della matematica a Salorno, organizzata dalla Sovrintendenza Scolastica in lingua Italiana di Bolzano e dall'università di Trento in collaborazione con la mia scuola. Insieme al prof. Domenico Luminati e il prof. Diego Gottardi, il mio corso si è occupato di Topologia, ossia lo studio delle proprietà di una figura lasciate invariate da distorsioni e deformazioni continue.

Per comprendere cosa sia la topologia, è necessario innanzitutto possedere una buona immaginazione. La topologia, infatti, lavora con superfici a volte inesistenti nel mondo reale, e quindi non rappresentabili nello spazio tridimensionale. Si deve pensare a queste superfici come se fossero costituite  da un materiale estremamente duttile ed elastico, che si può tirare e modellare senza limiti. La topologia è lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza 'strappi', 'sovrapposizioni' o 'incollature'. Tutti gli oggetti del nostro mondo possono essere ricondotti a forme topologiche. Due spazi sono topologicamente equivalenti (omeomorfi) se è possibile trasformare l'uno nell'altro senza tagliare né incollare insieme pezzi dei due.

Questo vassoio può essere rappresentato con una sfera con attaccati 12 tori (ciambelle).

Anche una tazza può essere rappresentata con un toro. Una tazza e un toro sono quindi omeomorfi.

Un essere umano può essere rappresentato come un toro con attaccati altri 2 tori. Basta considerare il tubo digerente un unico buco e le narici altri 2 buchi.

STORIA

L'antenata della topologia è la geometria antica. Lo scritto di Eulero del 1736 sui Sette ponti di Königsberg è visto come uno dei primi risultati che non dipendono da nessun tipo di misura, vale a dire uno dei primi risultati topologici.

Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da una città reale e da una situazione concreta. La città di Königsberg, già facente parte della Prussia Orientale ed ora chiamata Kaliningrad ed enclave della Russia, famosa per aver dato i natali al filosofo Immanuel Kant, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. Ci si pone il problema se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza. Nel 1736 Eulero lavorò sul problema e dimostrò che la passeggiata ipotizzata non era possibile.

Non sembra dotata di fondamento storico, ma piuttosto frutto di invenzione, l'affermazione secondo la quale intorno al 1750 i cittadini benestanti di Königsberg la domenica passeggiassero per la loro città cercando invano di risolvere il problema.

   

IL PROBLEMA DELLE TRE CASE

Foglio

Siamo partiti da un semplice gioco: su un piano finito bisognava collegare 3 case a 3 alberghi, senza che le linee di congiunzione si intersecassero fra loro.

           

Dopo molti tentativi, abbiamo constatato che ciò era impossibile, ed era necessaria almeno un'intersezione (un ponte o maniglia).

Cilindro

Allora abbiamo ripetuto l'esperimento sulla superficie esterna di un cilindro, rappresentato  con 2 bordi colorati. Ogni linea che usciva passando per un colore, doveva rientrare dallo stesso. Tuttavia anche in questo caso era necessario far intersecare 2 linee.

Toro

Cosi abbiamo ritentato l'esperimento sulla superficie di un toro. Il toro è rappresentabile con 4 bordi colorati, per i quali vale la stessa regola delle linee di uscita e di entrata. in questo caso l'esperimento è riuscito, infatti siamo riusciti a collegare case e alberghi senza ricorrere a intersezioni.

   

Nastro di Möbius

Successivamente abbiamo ripetuto l'esperimento sul Nastro di Möbius. Il Nastro di Möbius si rappresenta con 2 bordi colorati, ma orientati in versi opposto. Anche in questo caso siamo riusciti a collegare le case agli alberghi.

           

PIANO TOPOLOGICO

A questo punto abbiamo iniziato a studiare le diverse superfici alle quali possiamo ridurre tutti gli oggetti reali, attraverso l'utilizzo del piano topologico. Il piano topologico è un piano sul quale si rappresentano graficamente le superfici.

Un esempio di riduzione di superfici è il seguente.

 

Il poligono si riduce a un toro.

Superfici non orientabili

Sfera

La prima superficie che abbiamo studiato è la sfera. La sfera si può rappresentare schematicamente con una figura immaginaria detta biagono:

Una caratteristica del biagono è che esso equivale al piano per tutti i punti tranne che per uno, infatti la testa del lato a si identifica con la testa dell'altro lato a, ma nessun punto si identifica con la coda.

In questo disegno si può notare la sfera con sotto la sua superficie aperta. Ad ogni punto P' della sfera corrisponde un P'' sulla superficie della sfera aperta, mentre il punto P non si identifica in alcun punto.

Con il biagono otteniamo una rotazione che origina la sfera. Questa è una figura non orientabile, e questo concetto lo si può spiegare con il teorema della sfera pelosa, il quale dice che non si può pettinare in modo continuo il pelo di una sfera pelosa cioè non esiste un campo vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti alla sfera stessa. Il risultato non dipende dalla esatta forma della sfera, ma si applica anche a forme sferiche non regolari e in generale ad ogni tipo di oggetto (purché la sua superficie soddisfi certi requisiti di continuità e regolarità) che non abbia buchi.

Ora, siccome la topologia utilizza materiali molto elastici, possiamo ridurre altre superfici a delle sfere, come nell'esempio sotto. Queste figure possono essere tirate e modellate, fino a diventare delle sfere.

   

Nastro di Möbius

Un'altra superficie non orientabile è il nastro di Möbius. Su di esso infatti non possiamo distinguere la superficie interna da quella esterna e nemmeno la destra dalla sinistra. Se prendiamo un guanto destro, e gli facciamo percorrere tutta la superficie del nastro, ritorna nella posizione iniziale sottoforma di guanto sinistro. Un'altra caratteristica del nastro di Möbius è che esso possiede un unico bordo continuo. Inoltre se proviamo a tagliare in 2 per lungo il nastro di Möbius, non otteniamo altro che un nastro di Möbius girato 2 volte.

Il nastro di Möbius si può rappresentare cosi:

   

La testa del lato a si identifica con la testa dell'altro lato a, e lo stesso fanno le code.

Bottiglia di Klein

Un'altra superficie non orientabile è la bottiglia di Klein. La particolarità della bottiglia di Klein è che per immaginarcela dobbiamo uscire dallo spazio tridimensionale. Nella bottiglia di Klein c'è un'intersezione di superfici che non può esistere senza passare alla quarta dimensione, nella quale questa intersezione è possibile. La bottiglia di Klein può essere costruita (in senso matematico) 'incollando' i margini di due nastri di Möbius. Se una bottiglia di Klein è divisa in due lungo il suo piano di simmetria, il risultato è un nastro di Möbius.

            

Superfici orientabili

Toro

Dopo lo studio delle superfici non orientabili, siamo passati a quelle orientabili. Cosi abbiamo preso in considerazione il toro. Possiamo stabilire che il toro è una superficie orientabile riprendendo l'esempio della sfera pelosa, infatti il toro peloso è perfettamente pettinabile. Un'altra caratteristica del toro è che sulla sua superficie, al contrario della sfera, esistono linee chiuse che non dividono il toro in 2 superfici.

Il toro si forma facendo identificare tra loro i lati a e b.

       

Piano proiettivo

Ora possiamo passare allo studio del piano proiettivo. Il piano proiettivo non si può rappresentare nello spazio tridimensionale, perchè anche in questo caso è necessario fare intersezioni di superfici. Il piano proiettivo equivale ad un nastro di Möbius con il buco centrale riempito. Infatti, nello spazio topologico possiamo individuare un nastro di Möbius, e per questo non è orientabile.

Se proviamo a fare un foro nel nastro piano proiettivo, otteniamo un nastro di Möbius con attaccato un cilindro. Tuttavia questa figura si può ancora ridurre, fino ad ottenere solo un nastro di Möbius. Viceversa, un nastro di Möbius con attaccato un disco equivale ad un piano proiettivo.

  

REGOLE DI CALCOLO SUI POLIGONI

Dopo lo studio di alcune superfici ridotte a poligoni, siamo riusciti a ricavare 2 regole di calcolo sui poligoni. Per semplificare l'identificazione dei lati, utilizziamo le lettere minuscole per i lati diretti in una direzione, mentre invece utilizziamo lettere (minuscole)^-1 per i lati diretti in direzione opposta.

1) dato un poligono, due segmenti consecutivi con versi opposti si eliminano.

  

2) lati non consecutivi con lo stesso verso possono diventare consecutivi.

Con queste 2 regole si possono rendere consecutivi i lati del tipo a.a^-1 e far coincidere i vertici per ridurne il numero.

SOMME CONNESSE E TIPI DI SUPERFICIE

A questo punto siamo passati a formalizzare le somme tra superfici. La somma connessa (#) è la somma tra 2 superfici.

Somma connessa di 2 tori T#T

 

Sapendo che P#T = P#P#P (sfera con attaccati nastri di Möbius) si arriva a vedere che le superfici sono riassumibili in 3 tipi. Bisogna riuscire a ridurre tutte le superfici a queste 3.

1) Sfere

2) P#P#P. S(aabbccdd.)

3) T#T#T. S(aba^-1b^-1cdc^-1d^-1.)

CARATTERISTICA DI EULERO

Abbiamo successivamente ricavato la Caratteristica di Eulero attraverso l'osservazione di alcune superfici, tutte topologicamente riconducibili a sfere.

La caratteristica di Eulero ( per i poliedri, ha formula

χ = V − S + F,

dove V, S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro.

La formula di Eulero asserisce che

χ = V − S + F = 2 per tutti i poliedri 'senza buchi', ovvero semplicemente connessi.

I poliedri convessi rientrano in questa categoria.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico: due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa caratteristica. Questo è un risultato molto forte, che implica in modo banale la formula di Eulero: i poliedri convessi sono infatti tutti omeomorfi alla sfera bidimensionale.

Ogni spazio contrattile, cioè omotopicamente equivalente ad un punto, ha la stessa caratteristica di Eulero del punto, che è 1 perché il punto ha 1 vertice e 0 facce di ogni dimensione maggiore e 0 spigoli. Quindi la retta, il piano, e ogni spazio euclideo ha caratteristica di Eulero 1.

χ = V - S + F = 1 - 0 + 0 = 1

Se proviamo ad utilizzare la medesima formula per il toro, notiamo che il valore di χ è diverso, infatti equivale a 0.

La caratteristica di Eulero di una superficie può essere calcolata agevolmente tramite una suddivisione in poligoni (cioè una descrizione come complesso di celle) ed un conteggio del numero di vertici, spigoli e poligoni.

In generale

χ di P#P#P = 2-g         e

χ di T#T#T = 2-2g dove g = numero di P o T.