Fisica delle basse temperature

FISICA DELLE BASSE TEMPERATURE

INTRODUZIONE

Quando si sente parlare per la prima volta di "fisica delle basse temperature" si è portati a pensare a un ristretto ramo della fisica che insegue il raggiungimento del mitico "zero assoluto", temperatura alla quale si pensava che tutto fosse completamente immobile. In realtà questa branca della fisica è molto di più. Innanzi tutto studia e "crea" situazioni che, stando alle teorie cosmologiche che vanno per la maggiore (big bang) , non sono mai esistite nell'universo, visto che la temperatura della radiazione cosmica di corpo nero è di circa 3K. La ricerca non è incentrata quindi sul conseguimento di un solo traguardo ma si concentra soprattutto sullo studio di nuove fasi della materia che ci si aspetta di trovare avvicinandosi a 0 K. Perché ci si deve aspettare che a bassa temperatura compaiano nuove fasi della materia ? La risposta riguarda la competizione tra ordine e disordine (tra entalpia e entropia). Si ha infatti che, per qualunque temperatura T, un sistema si comporterà in modo da rendere minima la quantità (la cosiddetta energia libera) :

F = E - TS ,

dove E è l'energia media dello stato del sistema ed S la sua entropia, che è una misura del disordine associato ad esso; sia E che S non dipendono direttamente da T . Si può vedere che a temperature abbastanza alte il secondo termine è più importante, per cui il sistema sceglierà il proprio stato in modo da rendere massima l'entropia. Se invece la temperatura viene abbassata a sufficienza, il secondo termine sarà trascurabile rispetto al primo e il sistema sceglierà il proprio stato in modo da minimizzare l'energia. Anche se si è visto che le fasi ordinate tendono a manifestarsi alle basse temperature, il punto di transizione non cade sempre nella regione che per convenzione è detta della fisica delle basse temperature. Infatti, per esempio, l'acqua congela a una temperatura non molto inferiore a quella ambiente. Per vedere fasi ordinate, insomma, non è detto che si debba scendere alle temperature solitamente dette 'basse'. Cosa si guadagna, allora, a scendere fino a 20K e ancora più in basso ? Per prima cosa ci si possono aspettare fasi ordinate di nuovo tipo ; in effetti, poiché la temperatura (assoluta) alla quale avvengono le transizioni è proporzionale (di solito ) all'energia dell'interazione o alla forza alla quale l'ordine è dovuto, ci sono dei materiali che hanno interazioni atomiche così deboli da dover essere raffreddati a temperature bassissime per manifestare una fase ordinata.

Tuttavia questo non renderebbe la fisica delle basse temperature diversa dalla fisica ordinaria, ma ne sposterebbe soltanto il campo di applicazione. Ciò che rende la regione delle basse temperature davvero unica è il manifestarsi di una nuova classe di fasi che (a parte i superconduttori ad alta temperatura ) non sono mai state osservate in altre condizioni : si tratta dei cosiddetti "liquidi quantistici" o, più precisamente della sottoclasse di questi che va sotto il nome generico di 'superfluidi' (termine adoperato anche per i superconduttori). I liquidi quantistici sono sistemi che manifestano un tipo di ordine descrivibile solo in termini della meccanica quantistica e i superfluidi lo manifestano in modo particolarmente notevole. In questi sistemi si osservano effetti quantistici, di solito riservati alle particelle "elementari".

CHE COS'È UN LIQUIDO QUANTISTICO

Per comprendere il concetto di 'liquido quantistico' ci si deve rifare ad una delle idee basilari della meccanica quantistica elementare, cioè quella secondo cui una particella microscopica (come un elettrone, un protone o un neutrone) è in un certo senso rappresentata da un'onda. Oggi questa ipotesi è confermata al di là di ogni ragionevole dubbio, servendosi, per esempio, di un interferometro a neutroni nel quale il fascio di neutroni viene trattato più o meno come la luce nell'esperimento di Young, così da ottenere una distribuzione quasi identica a quella ottenuta da tale essperimento. Inoltre, proprio come in quel caso, se si blocca una delle due fenditure l'interferenza scompare. È possibile comprendere questo esperimento ed altri ad esso simili supponendo che valga la relazione di De Broglie tra la massa m e la velocità v della particella in questione e la lunghezza d'onda l dell'onda associata. ; trascurando gli effetti relativistici (un'approssimazione quasi sempre corretta nell'ambito delle basse temperature) questa relazione è data da :

l = h/m v  

Si ritiene, inoltre, che la relazione precedente sia valida non solo per elettroni, protoni e neutroni, ma anche per atomi, molecole e oggetti ancora più pesanti, purché m sia considerata come la massa totale dell'oggetto in questione. Qualcuno si potrebbe domandare : perché non si vedono gli effetti di questo dualismo onda - corpuscolo nella vita di tutti i giorni ? A questo proposito si può fare un esempio : noi siamo in grado di udire un suono proveniente da dietro un angolo (per esempio attraverso una porta aperta) ma non possiamo vedere un oggetto posto dietro il medesimo angolo. Questo si spiega perché quando un'onda cade su un'apertura praticata su uno schermo che non la lascerebbe passare (ad esempio la porta aperta), il suo comportamento cambia a seconda del rapporto tra l'ampiezza a dell'apertura e la lunghezza l dell'onda. Se a è molto maggiore di l allora l'onda si comporta come una particella che attraversi la fenditura. Se a è nell'ordine di l o minore l'onda viene diffratta, cioè dispersa in tutte le direzioni. Nel caso di una porta di normali dimensioni (a 1m) l'onda luminosa (l cm) si comporterà nel primo modo, mentre un'onda sonora si comporterà nel secondo modo . (In pratica, naturalmente, ci sono ulteriori altre complicazioni, che però non sono importanti per questa discussione). Il punto essenziale di tutto ciò è che una certa entità, anche se in realtà è un'onda, si può comportare in pratica come una particella, a meno che non incontri lungo il suo passaggio aperture o ostacoli di estensione dell'ordine della sua lunghezza d'onda o minore di essa ; si è però visto che, nel caso di un oggetto di massa finita, l è legata alla velocità dalla relazione [2] : se l'oggetto si trova in un ambiente in equilibrio termico a temperatura T, la sua velocità può essere valutata eguagliando l'energia cinetica ½ mv² con l'energia termica media T. Tenendo conto di tutte queste relazioni si giunge alla conclusione che, per osservare il comportamento ondulatorio delle "particelle", si deve avere

La quantità a (ampiezza della fenditura) deve essere scelta in relazione all'oggetto in questione. A livello atomico atomi ed elettroni vengono diffratti da altri atomi ed elettroni quindi a sarà dell'ordine delle distanze tra di essi, che di regola si aggira sui 2 o 3 Å (1 Å = m) per liquidi e solidi, mentre per i gas è molto più grande. Applicando la [3] agli elettroni di un solido o di un liquido si vede che essa è valida a tutte le temperature per le quali tali fasi esistono, si ricava infatti, considerando la massa dell'elettrone pari a Kg e a pari a 2 Å, una temperatura (detta anche temperatura di degenerazione) circa uguale a 291216 K. Per gli atomi la condizione è molto più vincolante, dato che la massa di un atomo risulta da 4 a 6 ordini di grandezza superiore alla massa dell'elettrone. In sostanza la [3] è la condizione perché le entità di cui si parla manifestino gli effetti quantistici a livello macroscopico. Come si è appena visto, essa è sempre verificata per gli elettroni nei liquidi e nei solidi ed è soddisfatta anche per gli atomi, purché la temperatura sia abbastanza bassa.

Per avere un liquido quantistico, tuttavia, è necessario un'altra condizione: l'indistinguibilità quantistica. Questo è un principio fondamentale della meccanica quantistica : gli ingredienti fondamentali della materia non possono essere "etichettati". Per questo motivo lo stato di un sistema in cui l'elettrone 1 si trovi nel punto A e l'elettrone 2 si trovi nel punto B è indistinguibile da quello in cui l'elettrone 1 è in B e l'elettrone 2 in A. Tutto ciò ha una grande influenza sul comportamento di gruppi di particelle dello stesso tipo e l'effetto dipende sostanzialmente dal tipo di particella presa in esame, in particolare dal suo momento angolare intrinseco (spin). Lo spin (unità di misura ) può avere valore intero o semi-intero : nel primo caso si ha una particella di Bose (o bosone), nel secondo una particella di Fermi (o fermione). L'elettrone, il protone e il neutrone hanno tutti spin e sono quindi fermioni ; il bosone più noto è il fotone (quanto di luce). La cosa interessante è che anche sistemi complessi costituiti da molte particelle "elementari" devono avere spin intero o semi-intero e possono essere classificati analogamente : così un sistema che contiene un numero pari di fermioni è un bosone, mentre uno che ne contiene un numero dispari è anch'esso un fermione.

L'importanza di questa differenza nello spin sta nel fatto che i fermioni obbediscono alla statistica di Fermi, mentre i bosoni a quella di Bose ; gli effetti di questa sono spesso spettacolari. Il fatto è che il comportamento dei fermioni è limitato dalla regola per cui due fermioni dello stesso tipo non possono trovarsi precisamente nello stesso stato. Per i bosoni non esiste invece alcuna limitazione : essi possono essere messi insieme in un singolo stato in numero illimitato. Questo raggrupparsi di bosoni nello stesso stato è detto condensazione di Bose - Einstein.

I DUE ISOTOPI DELL'ELIO

Gli isotopi dell'elio sono l'elio-3 e l'elio-4. Il primo è formato da due protoni, un neutrone e due elettroni ed è quindi un fermione ; il secondo è formato da due protoni , due neutroni e due elettroni ed è quindi un bosone. Essi sono gli unici fra tutti i liquidi (che sono gas a temperature ordinarie) a non congelare, a pressione ordinaria, per quanto bassa sia la temperatura ; in linea di principio potrebbero essere raffreddati fino allo zero assoluto e rimanere ancora allo stato liquido. L'incapacità dell'elio di congelare è dovuta in parte al fatto che le forze tra i suoi atomi sono estremamente deboli, e questo è forse il modo più semplice in cui questa straordinaria sostanza mostra all'opera le leggi della teoria quantistica. Nell'elio, per quanto sia bassa la temperatura, gli atomi conservano abbastanza energia cinetica per vincere le forze di attrazione interatomiche. Questo contraddice clamorosamente la fisica classica, per la quale allo zero assoluto gli atomi dovrebbero avere energia cinetica necessariamente nulla e occupare posizioni fisse. Secondo la teoria quantistica questa affermazione non è esatta ;infatti, secondo il principio di indeterminazione di Heisemberg, la posizione e la quantità di moto di una particella non possono essere conosciute simultaneamente con esattezza illimitata.

Gli effetti quantomeccanici non sono solo responsabili dell'instabilità dell'elio, ma devono essere anche chiamati in causa per spiegare le differenze significative che si hanno nelle proprietà fisiche degli isotopi elio-3 e elio-4. Solitamente isotopi dello stesso elemento hanno proprietà fisiche e chimiche molto simili. Miscele di elio-3 e elio-4 liquidi possono separarsi spontaneamente a certe temperature perché sono immiscibili, come olio e aceto. Le grandi differenze sono dovute al fatto che, come già detto, l'elio-3 è un fermione mentre l'elio-4 è un bosone ; in particolare il nucleo dell'elio-4 non ruota e non ha proprietà magnetiche, mentre quello dell'elio-3 ruota e si comporta come un piccolo magnete.

ELIO-4 LIQUIDO

Se si dispone di un gran numero di atomi di elio-4 a temperatura superiore a circa 4 K, si avrà un gas. Raffreddandoli sotto questa temperatura si formerà un liquido, che però non gode di proprietà particolarmente spettacolari. Raffreddando ulteriormente il sistema fino a una temperatura inferiore a circa 2 K, il liquido comincerà a manifestare proprietà insolite e spettacolari : fluirà attraverso sottili capillari, visibilmente senza attrito, si arrampicherà nella forma di una pellicola oltre il bordo di un recipiente, zampillerà in modo sorprendente se scaldato secondo certe condizioni e manifesterà parecchie altre proprietà insolite. Questo insieme di effetti è generalmente riunito sotto il nome di "superfluidità" e il liquido nella fase superfluida è detto elio II. Come si è già detto l'atomo di elio-4 è un bosone e può subire quindi la condensazione di Bose - Einstein. C'è una proprietà dell'elio-4 superfluido che ben si presta per essere spiegata secondo la statistica di Bose. Si immagini di versare un liquido in una tazza posta sull'asse di un piano girevole, come il piatto di un giradischi e si avvii in seguito la rotazione. Un liquido ordinario, come l'acqua, inizialmente sembrerà rimanere a riposo rispetto al laboratorio, ma nel giro di pochi minuti verrà a trovarsi in equilibrio con la tazza e ruoterà con la medesima velocità angolare di questa. Se invece si esegue questo esperimento con l'elio superfluido a bassa temperatura (), in un recipiente di dimensioni opportune, con velocità angolare appropriata il liquido non si metterà mai a ruotare, non importa quanto tempo si aspetti: esso sembra rimanere a riposo rispetto al laboratorio. A prima vista ciò non parrebbe sorprendente, dato che si è visto che l'elio II non sembra essere soggetto ad attrito nel passaggio attraverso capillari, per cui si potrebbe pensare che questo sia un altro effetto della stessa proprietà e che, poiché le pareti del recipiente non esercitano forze di attrito sul liquido, non possano porlo in rotazione. Ma questa spiegazione non è corretta perché, ponendo il recipiente in rotazione quando T è maggiore di , l'elio-4 liquido si comporta come un liquido ordinario e si adegua alla rotazione del recipiente. Se si comincia poi ad abbassare la temperatura del sistema mantenendo costante la velocità di rotazione, si nota che appena la temperatura scende al di sotto di , il liquido comincia a rallentare fino a fermarsi a temperature molto basse ! Dal momento che il movimento del liquido si è differenziato da quello del recipiente è chiaro che la spiegazione non può risiedere soltanto nella mancanza di attrito. Si tenta ora di spiegare questo fenomeno applicandogli la statistica di Bose. Quando gli atomi non sono soggetti alla condensazione di Bose - Einstein, ciascun atomo fa qualcosa di diverso dagli altri mentre, in seguito alla condensazione, gli atomi (o più precisamente la frazione di essi che è condensata alla temperatura in esame) sono obbligati a fare la stessa cosa nel medesimo istante ! Applicando questa teoria al fenomeno preso in esame si può spiegare il rifiuto alla rotazione degli atomi di elio-4 liquido. Per ragioni tecniche conviene considerare un recipiente di forma anulare, il cui spessore d sia piccolo rispetto al raggio R (così si evita ogni preoccupazione del moto delle particelle in direzione radiale). Supponiamo che nel recipiente vi siano N atomi. Come si è già detto, secondo la meccanica quantistica, ogni atomo è rappresentato da un'onda di De Broglie, con lunghezza d'onda legata alla velocità dalla relazione [2]. L'onda dovrà inoltre adattarsi al recipiente anulare, cosicché, dopo un giro, dovrà ritornare su se stessa, per cui la circonferenza sarà un multiplo intero della lunghezza d'onda, ovvero nl pR, e la frequenza f di rotazione (cioè il numero di volte che la particella passa per una sezione in un secondo) non sarà altro che . Tenendo conto delle due relazioni precedenti e della [2] si ha :

dove h è la costante di Planck, m la massa della particella e R il raggio del recipiente. È importante osservare che m I . La frequenza di rotazione è quindi quantizzata ed è quantizzata anche l'energia cinetica di rotazione ½ mv² ; di conseguenza l'energia dello stato con frequenza è data da

[5]

Si capisce ora che quando il recipiente è fermo tutti gli atomi dell'He II saranno nello stato di rotazione nulla n = 0. Quando l'anello ruota con frequenza compresa tra 0 e gli atomi sono costretti a scegliere tutti insieme, all'unisono, se rimanere nello stato 0 o saltare allo stato n = 1. La loro scelta ricadrà sull'opzione che renderà la loro velocità di rotazione più vicina a quella del recipiente : per f minore di rimarranno nello stato 0 e il liquido apparirà a riposo rispetto al laboratorio, mentre per f maggiore di gli atomi salteranno nello stato n =1 e, finché f rimarrà minore di , il liquido apparirà ruotare addirittura più velocemente del recipiente ! L'elio superfluido manifesta effetti quantistici su scala macroscopica : il liquido nel suo complesso si comporta proprio come un singolo elettrone in un atomo.

ELIO-3 LIQUIDO

Se l'elio-4 presenta proprietà eccezionali, l'elio-3 è qualcosa di ancora più straordinario. Come già detto, i suoi atomi sono dei fermioni e devono quindi sottostare alla statistica di Fermi. Tuttavia anche nell'elio-3 assistiamo ad una condensazione di Bose. Come è possibile ? La risposta a questo interrogativo deriva da un'ipotesi formulata da Cooper per spiegare il fenomeno della superconduzione. Cooper ipotizzò che gli elettroni si "unissero" in "coppie" rotanti intorno ad un asse e formassero così un sistema di bosoni. Lo stesso avviene per gli atomi di elio-3. La grande differenza fra le coppie di elettroni e quelle di atomi di elio-3 sta nel fatto che mentre le prime sono magneticamente neutre, le seconde hanno un campo magnetico proprio. Questa caratteristica rende l'elio-3 un "superfluido anisotropo", cioè variabile a seconda della direzione dalla quale lo si osserva, e lo rende, in linea di principio, molto più interessante dell'elio-4. L'elio-3 è ancora oggetto di esperimenti per verificare le caratteristiche ipotizzate e per trovare nuovi riscontri alla teoria quantistica.

SUPERCONDUTTORI

Fino a qui si è parlato esclusivamente dell'importanza teorica dello studio delle basse temperature. Si passa adesso ad un settore di grande interesse pratico che offre enormi prospettive di applicazione nel prossimo futuro : la superconduzione. Con il termine superconduzione si identificano una serie di proprietà straordinarie che alcune sostanze presentano, quando sono raffreddate al di sotto una certa temperatura di transizione. La proprietà più stupefacente è il fatto che la resistenza elettrica appare essere esattamente 0. Infatti, se si raffredda un anello di materiale superconduttore al di sotto della temperatura di transizione e si lancia in esso una corrente (ad esempio variando il flusso magnetico attraverso l'anello), questa continuerà a circolare per tutto il tempo in cui vorremo continuare l'osservazione.

Un effetto con conseguenze quasi altrettanto spettacolari è il cosiddetto effetto Meisnerr, cioè la totale esclusione del flusso magnetico da un corpo superconduttore. Se si immerge un pezzo di metallo ordinario (non magnetico) in un campo magnetico, le linee di campo lo attraversano praticamente come se non esistesse e le forze che il campo esercita sul corpo sono molto piccole. Se invece tentiamo di portare un campione di materiale superconduttore dentro un campo, oppure di accendere un campo nella zona in cui si trova il campione, le linee magnetiche si distorcono in modo da evitarlo del tutto. Qualcuno potrebbe pensare che questo sia una conseguenza del fatto che la resistenza è nulla e che quindi l'intervallo di tempo che trascorre prima che il campo penetri in un normale conduttore, poiché è inversamente proporzionale alla resistenza, diventi infinito. Si può dimostrare che non è così, analogamente a come si è dimostrato che il rifiuto di ruotare da parte dell'elio-4 non è dovuto all'assenza di attrito. Si immerge il conduttore nel campo con temperatura maggiore di quella di transizione e, una volta che il campo vi sia penetrato, abbassando la temperatura si vede che, non appena essa scende sotto quella di transizione, il campo viene completamente espulso. Anche per la superconduzione entra in gioco la statistica di Bose. Come già accennato nel paragrafo relativa all'elio-3, per spiegare la superconduzione venne formulata da Bardeen, Cooper e Schieffer (1957) l'ipotesi, non ancora confutata, di coppie di fermioni ( elettroni o atomi di elio-3) che formavano un bosone. Con questa ipotesi ci si può rifare alla condensazione di Bose-Einstein anche per gli elettroni di conduzione che, al di sotto della temperatura di transizione, vengono a sottostare, tutti nello stesso istante, alle stesse leggi quantistiche, proprio come gli atomi di elio-4.