Matematica e storia

MATEMATICA E STORIA

La matematica apparrà nel corso di questo lavoro nei suoi vari aspetti, ma mi piacerebbe approfondire qui un argomento che mi ha incuriosito, e che potrebbe far riscoprire il lato utile e divertente di questa disciplina.

L'EQUILIBRIO DI NASH E IL DILEMMA DEL PRIGIONIERO.

In genere accade spesso di trovarsi davanti ad un dilemma: una di quelle situazioni insolubili in cui qualsiasi strategia ha i suoi pro e i suoi contro. In questi casi ci troviamo allora ad analizzare le possibilità e optare per la scelta che consenta di correre i minori rischi possibili e, allo stesso tempo, di garantire il risultato più alto. Il che spesso significa non ottenere il risultato migliore in assoluto, ma il migliore tra quelli che permettono di limitare i rischi.

Questo discorso può essere proiettato tanto alla vita comune, quanto alla guerra, quanto all'economia. E, anche se qualcuno forse non ci aveva mai pensato, l'analisi e la soluzione di questa "strategia decisionale" fu matematicamente studiata e risolta.

Tutto ciò appare abbastanza chiaro dal film "A beautiful mind", di Ron Howard. Il film racconta la storia del genio matematico Jonh Nash, interpretato da Russel Crowe, il quale introdusse il concetto di equilibrio di Nash, strettamente legato alla teoria dei giochi e fondamentale per l'economia e per la guerra.

Nash è uno studente che nel 1949 entra nella prestigiosa università di Princeton con una borsa di studio per il dottorato. Egli, invece di seguire le lezioni come tutti gli altri suoi colleghi, è più interessato ad elaborare un'idea originale che lo contraddistingua come un genio agli occhi della comunità. Si troverà allora a studiare i comportamenti competitivi più banali: un gruppo che gioca a football, dei piccioni che si disputano delle briciole, una donna che insegue uno scippatore; e cercando disperatamente quella legge di equilibrio, dove nessuno vince e nessuno perde, la quale avrebbe sconvolto le basi dell'economia e gli scenari bellici.

Una notte, per caso in un bar con i colleghi, si trovò ad elaborare la teoria dei giochi, uno studio rivoluzionario sul comportamento degli individui che rese obsolete le teorie di Adam Smith, padre dell'economia moderna.

Nash, nel film afferma: "A. Smith diceva che il bene comune si ottiene quando il comportamento di ogni individuo serve al bene del gruppo.(.)A. Smith è incompleto perché il risultato migliore è quello che si ottiene quando ogni individuo del gruppo farà ciò che è meglio per se e per il gruppo".

Sono queste le dinamiche dominanti applicabili tanto alla conquista di una ragazza, come appare nel film, quanto ad ogni strategia che cerchi un equilibrio.

Nash acquistata così la notorietà che tanto aveva ricercato, ottenne un prestigioso lavoro al MIT, istituto di ricerca collegato al Pentagono. È il 1953, piena guerra fredda, e l'esercito americano decide di servirsi del genio matematico per decifrare alcuni codici sovietici e per avere adeguati consigli riguardo alle strategie. Questo lavoro finirà per diventare un'ossessione per Nash, il quale si ammalerà gravemente di schizofrenia, malattia dalla quale riuscirà a guarire. Riceverà il premio Nobel per la sua teoria dei giochi nel 1994.

La teoria dei giochi è composta di varie parti e analizza vari tipi di giochi, ma noi ci occuperemo di quello che va sotto il nome di "dilemma del prigioniero", teorizzato nel particolare dal matematico A. W. Tucker.

Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati con prove indiziarie di aver compiuto una rapina. Gli investigatori li arrestano entrambi per il reato di favoreggiamento e li chiudono in due celle diverse impedendo loro di comunicare. A ognuno di loro vengono date due scelte: confessare l'accaduto, oppure non confessare.

Viene inoltre spiegato loro che:

a) se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l'altro viene però condannato a 7 anni di carcere.

b) se entrambi confessano, vengono entrambi condannati a 6 anni.

c) se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1 anno.

Questo gioco può essere descritto con la seguente bimatrice:

Facendo il minimax e il maximin, che sono due calcoli matematici teorizzati da von Neumann, si scopre che il punto di equilibrio è, controintuitivamente, (confessa, confessa). Il motivo è che ognuno egoisticamente pensa a minimizzare a proprio pena, ottenendo alla fine un risultato che non è ottimale per nessuno dei due.

Il dilemma segue l'idea di fondo "fai agli altri quello che non vorresti fosse fatto a te". Tale situazione è individuabile in molti casi storici, dalla guerra fredda fra USA e URSS, al classico problema del trovare parcheggio nel centro di una grande città.

L'EQUILIBRIO NELLA GUERRA FREDDA.

"La guerra fredda viene generalmente descritta come un gioco a vincita zero nel quale il punteggio di un giocatore è pari alle perdite dell'altro.Sarebbe però più realistico vedere il sistema della guerra fredda come una macabra danza di morte nella quale i governanti delle superpotenze mobilitano le proprie popolazioni per avere il consenso su misure dure e brutali rivolte contro vittime all'interno di quelle che vengono considerati i rispettivi domini, nei quali stanno progettando i loro progetti.

Appellarsi alla presunta minaccia di un potente nemico globale ha dimostrato essere un utile strumento a questo scopo.Quando gli USA si muovono per rovesciare il governo dell'Iran o del Guatemala o del Cile . lo fanno con il nobile scopo di difendere i popoli liberi dall'imminente minaccia russa .Nello stesso modo l'URSS  manda i suoi carri armati a Berlino est , in Ungheria , a Praga .per il più puro dei motivi : difendere il socialismo e la libertà dalle macchinazioni dell'imperialismo americano e delle sue coorti " .

Il 1945, anno della fine della II guerra mondiale, ha segnato l'inizio di un'epoca definita "età delle super potenze", dominata dalla presenza e dalla concorrenza di due grandi blocchi politico-economico-militari, USA e URSS, entrambi in grado di distruggere l'avversario e con esso la vita di tutto il pianeta. Fortunatamente lo scontro politico ed ideologico non degenerò mai in un conflitto militare aperto: per questo il dopo guerra viene generalmente denominato come il periodo della guerra fredda, durante il quale il mantenimento della pace dipendeva proprio dalla capacità di queste potenze di tenere stabile l'equilibrio mondiale.

L'inizio di questa situazione è fatto risalire alla Conferenza di Yalta, 1945,  dove i capi di stato delle tre maggiori potenze vincitrici (Churchill, Roosvelt e Stalin) decisero le sorti dell'Europa e del mondo: Grecia Austria e Italia erano sotto la tutela anglo-americana; Romania e Ungheria sotto i sovietici; paesi come Bulgaria, Polonia e Jugoslavia erano sotto la comune influenza di USA e URSS; e la Germania verrà divisa in 4 parti, ognuna delle quali andrà alle potenze vincitrici (Francia, Inghilterra, Stati Uniti e Russia).

L'equilibrio stabilito è riassumibile nei seguenti diagrammi:

Gli USA uscirono dalla seconda guerra mondiale addirittura rafforzati: non avevano infatti conosciuto né occupazione straniera né bombardamenti, alla fine del conflitto si ritrovarono con la più potente marina e aviazione militare del mondo, e la supremazia militare era garantita dal possesso della bomba atomica.

La supremazia degli USA era indiscutibile anche in campo economico, il dollaro venne scelto come valuta di scambio in quanto gli Stati Uniti possedevano i due terzi delle riserve aurifere mondiali. Furono create istituzioni economiche internazionali come la Banca Mondiale e il Fondo Monetario Internazionale che dipendevano di fatto dai finanziamenti degli USA e quindi dalla politica di Washington.

Il 12 aprile 1945 morì Roosvelt e salì al potere Truman, apportando alla politica americana un cambiamento radicale. Nel 1947 egli definì quella che va sotto il nome di "dottrina Truman": ogni aggressione contro la libertà, sia politica, che economica, sarebe stata considerata come una minaccia agli Stati Uniti; ogni collaborazione con l'URSS divenne di fatto impossibile e Truman si impegnò per controllare la diffusione dell'ideologia sovietica.

A tal fine, e per agevolare l'economia americana, istituì il "Piano Marshall", il quale prevedeva aiuti finanziari a tutti quegli stati europei che accoglievano il modello liberista in economia, e liberale in politica. Questo piano entrò in vigore nel 1948 e si concluse nel 1957, con uno stanziamento di ben 13 miliardi di dollari.

La solidarietà politica tra Usa ed Europa si riaffermò poi nel 1949 con l'alleanza politico-militare del Patto Atlantico (1941,dichiarazione di principi che affermava la volontà di lotta antifascista, firmata da Roosvelt e Churchill) che ebbe il suo strumento bellico nella NATO ( North Atlantic treaty Organization ) cui aderirono 12 paesi . La Nato era una alleanza con dichiarato carattere difensivo , ma il suo sorgere confermò comunque una netta divisione dell'Europa occidentale da quella orientale. Questa divisione fu confermata nel 1955, quando i paesi del blocco comunista opposero alla NATO una loro alleanza militare , IL Patto di Varsavia , che istituiva a Mosca il comando supremo delle forze armate di tutti i paesi a lei alleati. Era dunque calata quella " cortina di ferro " di cui Churchill aveva parlato già nel 1946 (in rosso nella cartina).

L'URSS, invece, uscì dalla II guerra mondiale notevolmente provata a causa delle sanguinose battaglie combattute nel suo territorio. Riuscì comunque ad affermarsi a livello mondiale grazie al suo forte esercito, l'armata rossa, alla ferrea disciplina imposta da Stalin ed allo sfruttamento dei territori occupati. A quest'ultimo proposito impose pesantissime riparazioni agli ex alleati della Germania, impose governi filo-sovietici e la conseguente collettivizzazione dell'economia.

Nel 1947 si insidiarono vari governi uniti alla"madre Russia" mediante organizzazioni politiche(COMINFORM), economiche(COMECON), e militari(Patto di Varsavia).

Il Cominform, fondato nel 1947 e sciolto nel 1956, era una sorta di riedizione della terza internazionale, con lo scopo di coordinare l'azione di tutti i partiti comunisti europei.

Il COMECON, consiglio di mutua assistenza economica, permise all'URSS il controllo totale dell'economia, scegliendo i processi di produzione dei paesi satelliti che risultavano così complementari a quelli russi.

Il Patto di Varsavia, come accennato prima, fu la risposta alla NATO. Firmato nel 1955 e sciolto solo nel 1991, permise alla Russia il comando di tutte le forze militari dei paesi contraenti il contratto.

Non tutte le nazioni però avevano accettato di allinearsi con uno dei due blocchi e avevano preferito restare neutrali e conservare i propri orientamenti tradizionali nella politica estera e le proprie strutture e istituzioni di governo.

Tra i " non allineati " europei il più importante fu la Yugoslavia di Tito, che nel 1948 arrivò ad una rottura definitiva con l'URSS per quanto riguardava le relazioni economiche e militari , aderendo invece al piano Marshall e intensificando gli scambi con l ' occidente.

Nel 1955 inoltre, a Bandung, ci fu una conferenza tra i vari paesi afro-asiatici non allineati , i quali proclamarono la volontà di essere neutrali in questa guerra fredda.

In conclusione, furono fondamentali per l'equilibrio internazionale alcuni punti ora riassunti nel diagramma:

Nel 1945 il primato atomico americano finì. Fu proprio questo, infatti, l'anno in cui l'URSS  riuscì a costruire la sua prima bomba atomica. Le tecnologie cui si era arrivati nelle due super potenze erano tali da potersi annientare istantaneamente a vicenda; la corsa agli armamenti, e quindi la ricerca e la costruzione di armi sempre più raffinate e potenti era divenuta una febbrile gara fra USA e URSS. Lo scontro ideologico si era trasformato in possibile scontro nucleare; nessuna delle due potenze aveva, però intenzione di effettuare uno scontro del genere nel proprio territorio, motivo per cui si pensò all'Europa ed alla sua posizione strategica, salvaguardata però dalla NATO. Si attuò una politica della "deterrenza", descrivibile grazie al dilemma del prigioniero: Se pensiamo agli Stati Uniti e all'URSS come ai due prigionieri e alla confessione come l'armamento con l'atomica (per contro la negazione equivarrebbe al disarmo unilaterale), il dilemma descrive come per le due nazioni fosse inevitabile la corsa agli armamenti, benché questo risultato finale fosse non ottimale per nessuna delle due superpotenze (e per l'intero mondo).

Per "caccia alle streghe" si intende quel fenomeno che vede la persecuzione, a volte sanguinosa, soprattutto negli Stati Uniti di tutti i simpatizzanti comunisti, delle possibili spie sovietiche (lo stesso Nash, nel film, fu chiamato a decifrare i codici con i quali comunicava, tramite i quotidiani, una parte dell'armata rossa avente il controllo della bomba) e di tutte le minoranze potenzialmente sovversive (Maccartismo).

La questione estera si concretizzò soprattutto con la guerra in Corea e con la situazione Cubana. Nel giugno del 1950, le forze nord coreane armate dai sovietici invasero il sud del paese, area fondamentale per la strategia militare americana. Di fronte a quella che appariva una clamorosa conferma delle mire espansionistiche sovietiche, gli USA reagirono inviando in Corea un forte contingente militare mascherato sotto la bandiera dell'ONU. Riuscirono così a respingere i nord coreani e a oltrepassare addirittura il 38° parallelo, zona di confine fra la Corea del nord e del sud. A questo punto però si sentì minacciata anche la Cina che intervenne a difesa delle potenze comuniste riuscendo ad arginare nuovamente gli americani.Nell'aprile del '51 Truman accettò di aprire le trattative con la Corea del Nord. I negoziati si trascinarono a lungo concludendosi solo nel '53 con il ritorno alla situazione precedente alla guerra ( confine lungo il 38° parallelo ). La situazione Cubana si estese fra il 1959 ed il 1961, dove ad una dittatura sostenuta dagli americani si sostituì una repubblica democratica socialista con alle spalle i russi. La guerra e la tensione creatasi far le due super potenze creò tensione in  tutto il mondo.

La Germania divenne il campo di battaglia più ambito. Nel giugno 1948 negli accordi presi da Francia Inghilterra e USA si stabilì l'unificazione dei territori tedeschi occidentali, e Berlino fu proclamata capitale. L'URSS però non approvò questa decisione e occupò la città, impedendone ogni accesso per quasi un anno. L'America stabilì allora un ponte aereo con la città dimostrando al sua superiorità e costringendo i sovietici a togliere il blocco. Conseguenza di ciò sarà la divisione della Germania in due blocchi: a occidente la Repubblica federale con capitale Bonn, ad oriente la Repubblica democratica con capitale Pankow. La città di Berlino rimaneva comunque un problema e come simbolo della rottura fu costruito nel 1961 il famoso muro che divideva la Germania est da quella ovest.