L'equazione di Schrödinger

L'equazione di Schrödinger

La solidità logica della costruzione di De Broglie, a parte l'intuibilità dell'onda associata, attrasse l'attenzione del fisico tedesco Erwin Schrödinger fig.(14-b). Quest'ultimo ha il grande merito di aver trovato per primo nel 1926 l'equazione esplicita delle onde della meccanica ondulatoria e di aver dedotto da questa un metodo rigoroso per lo studio dei problemi di quantizzazione. Questa equazione ha la caratteristica che i suoi coefficienti non sono tutti dei numeri reali ma compaiono anche dei numeri immaginari, se consideriamo la sua forma dipendente anche dal tempo. Nella fisica classica le equazioni che descrivono la propagazione delle onde sono sempre reali, invece nella funzione d'onda di Schrödinger i coefficienti immaginari sono ineliminabili. Tutto ciò significa che, mentre nella fisica classica le onde corrispondono a vibrazioni reali di un mezzo di esistenza reale o supposta (l'etere), l'onda meccanica ondulatoria non può considerarsi una realtà fisica corrispondente alla vibrazione di qualche mezzo. Einstein, non senza ironia, definì queste onde "onde fantasma". Schrödinger partì dalla formula che avrebbe fornito l'energia totale di un sistema fisico classico S per giungere a descrivere l'onda mediante la famosa funzione y(x,y,z)

dove E rappresenta l'energia del sistema in questione e U rappresenta il potenziale:

Cerchiamo ora di giungere a scrivere l'equazione di Schrödinger dipendente da una sola variabile spaziale ed indipendente dal tempo in un modo leggermente più intuitivo partendo dalle equazioni descriventi il comportamento delle onde classiche. Luis De broglie ha dimostrato come ad un corpuscolo materiale sia associata un onda stazionaria, o meglio un treno d'onde ( è molto più evidente per particelle a cui è associata una piccola lunghezza d'onda) come in fig.(30-b). Quest'onda rappresenta una particella di massa m in moto lungo l'asse x con velocità v. Poiché abbiamo parlato di treno d'onde, ci è sicuramente concesso affermare che l'ampiezza dell'onda, che denotiamo con , sia grande in prossimità di quei punti dove la particella è localizzata e pressoché nulla altrove. Ma se l'onda fosse una pura sinusoide o cosinusoide con lunghezza d'onda , oppure una combinazione lineare delle due fig.(31-b):

dove valgono le relazioni: e allora la funzione che la descrive soddisferebbe questa proprietà: la derivata seconda della funzione rispetto ad x è proporzionale alla funzione stessa secondo una costante ben nota (soddisfa l'equazione del moto armonico):

dove apportando le dovute sostituzioni per k si ottiene:

Poiché l'onda della fig.(30-b) si estingue lontano dalla posizione della particella, la funzione , in questa forma, non può essere una combinazione lineare di una sinusoisìde e di una cosinusoide. Ciò nonostante, la curva da noi cercata conserva alcune caratteristiche geometriche di una cosinusoide, e, in particolare, cercheremo di capire come e perchè nella costante di proporzionalità k compare il quadrato della lunghezza d'onda a denominatore. L'idea è quella di vedere come e la sua derivata seconda devono essere legate a , per contenere l'onda in una regione finita di spazio.

La derivata seconda di una qualsiasi funzione è la velocità di variazione della derivata prima , in altre parole, ci fornisce informazioni su come varia il coefficiente angolare della curva. Se il coefficiente angolare è crescente la derivata seconda è positiva, altrimenti è negativa. In prossimità di un picco netto della curva il coefficiente angolare decresce (o cresce) rapidamente. Quanto più è netto il picco tanto più velocemente varia il coefficiente angolare e tanto più grande in valore assoluto diventa la derivata seconda. Vediamo adesso come varia la derivata seconda con la lunghezza d'onda. La diminuzione della lunghezza d'onda da a ha due effetti distinti sul coefficiente angolare variabile. In primo luogo dimezzando la lunghezza d'onda il picco diventa più netto di conseguenza la derivata seconda raddoppia il suo valore poiché raddoppia il tasso di variazione del coefficiente angolare, in secondo luogo, nella stessa regione di spazio ci sono un numero doppio di picchi. Ciascuno di questi due effetti è proporzionale a allora ci è lecito pensare che il loro effetto combinato sia proporzionale a . Ora che abbiamo reso conto in maniera abbastanza intuitiva della costante di proporzionalità procediamo a sostituire nella (194) la relazione (183) ottenendo:

La quantità è legata all'energia cinetica secondo la relazione: e l'energia cinetica possiamo esprimerla come differenza tra l'energia totale e l'energia potenziale: . In virtù di queste relazioni possiamo riscrivere la (195) come:

Questa è la forma che assume l'equazione di Schrödinger nel caso di una particella in una sola dimensione quando si trascura la variazione temporale. Generalizzando a 3 dimensioni si giunge nuovamente alla (190). Vogliamo semplificare ancora la forma della (196): per farlo consideriamo un oscillatore armonico classico unidimensionale. In questo caso una particella è attratta verso l'origine da una forza (secondo la legge di Hook) direttamente proporzionale al suo spostamento rispetto all'origine dove k assume un valore costante positivo. La corrispondente energia potenziale é , di conseguenza l'equazione di Schrödinger diventa:

inoltre ponendo l'equazione assume la forma:

Tentiamo ora di trovare una funzione che soddisfi la (198). Ad esempio possiamo prendere in considerazione la funzione:

questa funzione è una funzione esponenziale le cui derivate prima e seconda sono date da:

possiamo infine riscrivere la derivata seconda come:

Notiamo che il secondo membro della (201) è uguale al secondo membro della (198) se . In questo caso particolare allora possiamo affermare che la funzione (199) è una soluzione dell'equazione di Schrödinger. In fig.(31-b) sono rappresentati i grafici delle funzioni (192), (199) confrontate con il treno d'onde ipotizzato da de Broglie. Notiamo che la funzione esponenziale approssima molto bene il treno d'onde per valori assoluti di x relativamente bassi e presenta lo stesso andamento per valori di x molto grandi in valore assoluto: infatti, per la nostra .