Introduzione ai circuiti

Diario delle Lezioni

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Tensione elettrica tra due punto A e B lungo una curva g è l'integrale del campo elettrico tra A e B lungo la linea g e si indica con V_AB^g; se tale integrale non dipende dalla particolare curva, il campo è conservativo e quindi V_AB^g= V_AB coincide con la differenza di potenziale (V_A-V_B).

Voltmetro ideale: è lo strumento che realizza il calcolo della tensione elettrica; l'indicazione dello strumento dipende in generale dalla curva g su cui esso si immagina "disteso"[1].

Moto stazionario di cariche in migrazione in conduttore filiforme: indipendenza dell'intensità della corrente dalla sezione considerata, fissati riferimenti congruenti. Se il caso non è stazionario, occorrerà considerare, per ogni sezione, il valore istantaneo dell'intensità della corrente i(t) _S= lim_Dt Dq/Dt _S. Se il caso è stazionario, non vi è variazione media della carica in moto in ogni volume; in ogni punto è costante la velocità v di migrazione (non considerando il moto di agitazione termica e il moto vario nell'intervallo tra due interazioni[2]. Si può quindi ritenere che sia nulla, in media, la risultante delle forze che agiscono sulla carica q in movimento, nel nostro caso la forza qE nel senso del moto ed una "forza d'attrito equivalente" -kv diretta in senso opposto alla prima.

Effetto Joule: l'interazione tra le cariche in moto con le altre particelle comporta (tranne nel caso dei "superconduttori") una cessione di energia. Il tratto di conduttore si riscalda; la quantità di energia ceduta e trasformata in calore nell'intervallo di tempo Dt dipende dalla carica trasportata e dalla natura e geometria del tratto. Se Dq è la carica che ha attraversato ogni sezione S del tratto A-B il lavoro compiuto dalle forze del campo è D Dq E l_AB [ = Dq (V_A-V_B) se il campo è conservativo].

Potenza dissipata: la potenza messa in gioco dalle forze del campo e trasformata (in questo caso) in calore si ottiene dal rapporto tra lavoro svolto e il tempo di osservazione :

P= D Dt =Dq (V_A-V_B) /Dt= (V_A-V_B) I.

bipolo : caratterizzazione del funzionamento di una regione di spazio interessata da corrente elettrica accessibile da due punti A-B (primo e secondo morsetto o terminale) e per cui possa essere fissato un riferimento per la valutazione dell'intensità di corrente I [ I_AB oppure I_BA] e un riferimento per la tensione V [V_AB oppure V_BA

Convenzioni: per un bipolo qualsiasi A-B è possibile abbinare in quattro modi i riferimenti I e V; definiamo convenzione dell'utilizzatore l'abbinamento V_AB-I_AB o l'abbinamento V_BA-I_BA e convenzione del generatore l'abbinamento V_AB-I_BA o l'abbinamento V_BA-I_AB

Caratteristica di un bipolo: legame V=f(I) oppure I=g(V), fissati gli abbinamenti di cui sopra. Tale legame può essere anche non analitico.

Legge di Ohm : per un tratto A-B di conduttore metallico filiforme operante a temperatura costante si verifica sperimentalmente con buona approssimazione la relazione V_AB=R I_AB con R numero positivo (al limite nullo) e costante in un ampio intervallo di valori di I_AB. Il tratto A-B viene classificato come resistore; in termini commerciali per resistore si intende un componente per le applicazioni circuitali ed industriali (stufe, forni, scaldabagni, ).

Considerando sempre il parametro R 0, la legge di Ohm si scrive anche nel seguenti modi:

V_AB=-R I_BA

V_BA=-R I_AB

V_BA=R I_BA

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Classificazione dei bipoli:

- bipoli pilotati in tensione : nella caratteristica I=g(V) ad ogni valore della tensione corrisponde un solo valore dell'intensità di corrente;

- bipoli pilotati in corrente : nella caratteristica V=f(I) ad ogni valore dell'intensità di corrente corrisponde un solo valore della tensione;

- bipoli pilotati in tensione ed in corrente: caratteristica invertibile.

- bipoli simmetrici: caratteristica simmetrica g(V)=-g(-V) ovvero f(I)=-f(-I);

- bipoli inerti: la caratteristica passa per l'origine: g(0)=0 ovvero f(0)=0;

- bipoli lineari : se ad esempio V'=f(I') e V'=f(I'), si ottiene V=V'+V'=f(I')+f(I');

Esempi di bipoli ideali

- bipolo resistore ideale : caratteristica lineare, inerte, simmetrica, invertibile.

- bipolo corto-circuito ideale: per ogni valore di I, qualunque sia la convenzione adottata, la tensione è nulla (caratteristica coincidente con l'asse delle I); tale caratteristica lineare, inerte, simmetrica, non invertibile (bipolo pilotato in corrente);

- bipolo aperto (o circuito aperto) ideale: per ogni valore di V, qualunque sia la convenzione adottata, l'intensità di corrente è nulla (caratteristica coincidente con l'asse delle V); tale caratteristica lineare, inerte, simmetrica, non invertibile (bipolo pilotato in Tensione).

Generatore ideale di tensione

E' un bipolo ideale caratterizzato da una tensione ai morsetti A-B indipendente dalla corrente I, qualunque convenzione sia stata adottata. La caratteristica è quindi una retta parallela all'asse delle I. Il simbolo comunemente adoperato è un pallino con un contrassegno (*,+,1, etc.) su un morsetto ( trattasi quindi di bipolo ordinato) con indicazione numerica E, che indica il valore della tensione valutata tra il morsetto contrassegnato (primo morsetto) e l'altro (secondo morsetto). Il valore E può essere positivo, negativo o nullo; al proposito si pone in evidenza che un generatore di tensione nulla è equivalente ad un bipolo cortocicuito ( la caratteristica è la stessa).

Generatore ideale di corrente

Trattasi di bipolo fondamentale, duale del generatore di tensione ideale, con caratteristica I=I* (costante) qualunque sia la tensione ai morsetti. Il generatore di corrente è un bipolo normale (non lineare) e non simmetrico. Si rappresenta in genere con un cerchietto con barra trasversa e morsetti 'ordinati'.  

Equivalenza di bipoli

Un bipolo A-B è equivalente ad un altro bipolo A'-B' se, fissate due convenzioni omologhe V-I e V'-I' (ad esempio si considerano i riferimenti V_AB-I_AB per il primo bipolo e V_A'B'-I_A'B' per il secondo bipolo), i due bipoli hanno caratteristiche uguali.

Bipoli isteretici

La caratteristica V-I di questi bipoli si presenta disegnata da una traiettoria complessa che dipende dalla "storia" subita (ad esempio se tensione o corrente stanno crescendo o decrescendo) e dai valori massimi assunti . Tale caratteristica è tipica dei componenti che fanno uso di materiali ferromagnetici o ferroelettrici.

Collegamento di bipoli - Punto di lavoro

Collegare due bipoli significa considerare una identificazione formale dei morsetti. Ad esempio il bipolo AB potrà essere collegato al bipolo A'B' considerando A=A' o A=B' o B=A' o B=B' ovvero (A=A' e B=B') ovvero (A=B' o B=A'). In questi ultimi due casi si costituisce un circuito semplice. Note le convenzioni V-I, V'-I' assunte sui due bipoli e le relative leggi caratteristiche tensione-corrente, è possibile valutare se esistono una o più soluzioni compatibili con il collegamento previsto.

Risoluzione grafica: si riportano "congruentemente" su uno stesso piano la caratteristica V-I del primo bipolo e la caratteristica V'-I' del secondo bipolo, considerando che può essere V= V' e I= I'.

Nel caso di collegamento generatore ideale di tensione E-resistore R si ha sempre un solo punto di lavoro di coordinate I=E/R V=R.

Nel vaso di collegamento generatore ideale di tensioneE - generatore ideale di corrente J sia ha un solo punto di lavoro V=E, I=J.

Nel caso di collegamento generatore ideale di tensione - lampada a scarica si hanno due soluzioni se E<V*, una soluzione nel caso E=V*, nessuna soluzione per E>V* (fig.5.1).

Nel caso di collegamento di due generatori ideali di tensione E ed E', si avranno infinite soluzioni (l'intensità di corrente può essere qualsiasi) se V=V'=E=E', non si avrà nessuna soluzione se E E'.

Nel caso di collegamento di due generatori ideali di corrente J ed J', si avranno infinite soluzioni (la tensione può essere qualsiasi) se I=I'=J=J', non si avrà nessuna soluzione se J J'.

Poiché i casi con nessuna soluzione o con infinite soluzioni non hanno riscontro fisico ( un sistema fisico stazionario ammette sempre una soluzione, salvo distinguerla da altre possibili[3], in base alla "storia" subita dal componente reale ed eventuali criteri di stabilità). Tali casi si definiscono patologici. Ricordiamo al proposito che un generatore ideale di tensione non può essere cortocircuitato, ovverosia collegato ad un bipolo cortocircuito ideale, così come un generatore ideale di corrente non può essere aperto, ossia collegato ad un bipolo aperto.

Principio di sostituzione

Se il punto di lavoro P della connessione tra un bipolo B1 ed un bipolo B2 è unico, esso può essere identificato anche sostituendo ai bipoli suddetti due bipoli B1* e B2* le cui caratteristiche comprendano il punto P e questi rappresenti ancora l'unico punto di lavoro. Ad esempio, in una connessione generatore ideale di tensione(E)-resistore ideale(R) che ha come punto di lavoro il punto P di coordinate (E, E/R), si può sostituire al resistore un generatore di corrente ideale I*=E/R; il punto di lavoro P* della nuova connessione ha le stesse coordinate del punto P.

Le sostituzioni sono sempre ammesse se il punto di lavoro è unico prima e dopo la sostituzione. Attenzione quindi ai casi patologici.

Serie e parallelo di bipoli

Due (o più) bipoli si dicono in serie diretta o semplicemente in serie se è possibile stabilire per essi riferimenti congruenti per l'intensità di corrente I e riportabili l'uno all'altro per continuità; in tal caso i valori dell'intensità di corrente sono uguali; se sono riportabili per continuità riferimenti opposti, i valori sono opposti  e la serie si dirà contrapposta.

Se due o più bipoli in serie sono contigui, potrà essere valuatata la tensione V* ai capi della serie e si potrà considerare un bipolo equivalente di caratteristica V*-I.

Due (o più) bipoli si dicono in parallelo diretto o semplicemente in parallelo se è possibile stabilire per essi riferimenti congruenti per la tensione V; in tal caso i valori della tensione sono uguali; se i riferimenti sono opposti, i valori della tensione sono opposti e il parallelo si dirà contrapposto.

Se due o più bipoli in parallelo sono contigui, potrà essere valuatata l'intensità di corrente I* ai morsetti di ingresso del parallelo e si potrà considerare un bipolo equivalente di caratteristica V-I.*.

Generatore reale di tensione

Nel tratto generatore di un circuito semplice si hanno interazioni tra le cariche in migrazione e le altre particelle; si avrà quindi comunque una dissipazione analoga a quanto avviene nei resistori. Inoltre c'è un campo "impresso" (campo motore) di natura meccanica, chimica, nucleare, . ma comunque non elettrostatica Se non c'è migrazione ed il campo motore è diverso da zero, questo campo tiene separate le cariche e crea quindi, all'esterno, un campo "elettrostatico": ai morsetti del generatore misureremo una tensione V_AB = V_ABo (tensione a vuoto) . Se annulliamo la tensione ai capi del tratto generatore, collegando i morsetti ad un bipolo corto-circuito ideale o considerando "fusi" i morsetti A e B, potremo misurare una corrente I=I_cc (corrente di cortocircuito).

Il generatore reale di tensione è caratterizzato dalla serie di un generatore ideale di tensione di valore pari alla tensione a vuoto V_ABo, e del resistore di resistenza R_g = V_Abo/I_cc (resistenza interna del generatore). In realtà tale schematizzazione ha una validità abbastanza limitata per i componenti reali.

Il generatore reale di corrente è caratterizzato dal parallelo di un generatore ideale di corrente di valore pari alla corrente di corto circuito I_cc, e del resistore di resistenza R_g = V_Abo/I_cc (resistenza interna del generatore).

E' chiaro quindi che ogni generatore reale di tensione può essere rappresentato con un generatore reale di corrente e viceversa. I due schemi sono equivalenti ai morsetti A-B.

Un generatore reale di corrente può essere cortocircuitato così come un generatore reale di corrente può essere aperto.

Bipolo equivalente alla serie e parallelo di bipoli

Se consideriamo un bipolo AB ed un bipolo A'B' connessi in serie dalla coincidenza A'=B, assunti per i due bipoli riferimenti congruenti per l'intensità di corrente, ad esempio tali che I_AB=I=I'=I_A'B', il bipolo A-B' equivalente alla serie AB-A'B' (la serie si indica anche con il simbolo AB A'B') avrà la caratteristica I[I_AB=I'=I_A'B'],V[=V_AB+V _A'B'

Se consideriamo un bipolo A'B' ed un bipolo A"B" connessi in parallelo dalla coincidenza A'=A" e B'=B", assunti per i due bipoli riferimenti congruenti per la tensione, ad esempio tali che V_A'B'=V_A"B", il bipolo A-B' equivalente al parallelo A'B'-A"B" (il parallelo si indica anche con il simbolo AB//A'B') avrà la caratteristica I[I_A'B'+I_A"B"],V[=V_A'B'=V_A"B"

Partitore di tensione

Se consideriamo due resistori  A'-B' e A"B" di resistenza R' ed R" in serie (B'=A'), il bipolo equivalente ai morsetti A'-B" ha resistenza pari a R= R'+R" (resistenza equivalente alla serie). Detta V la tensione tra A' e B", la tensione V' tra A' e B' è pari a [V R'/R], la tensione V" tra A" e B" è pari a [V R"/R]. In generale, la tensione V si "ripartisce" tra resistori in serie secondo la relazione (detta del partitore di tensione) [V_k=f_VV] essendo V_k la tensione sul resistore k-mo; f_V vien detto fattore di partizione e vale R_k/R (dove R è la somma delle resistenze); il segno dipende dalla scelta del riferimento V_k rispetto a V.

Partitore di corrente

Se consideriamo due resistori  A'-B' e A"B" di conduttanza G'=1/R' e G"=1/R" in parallelo (A'=A"=A,B'=B"=B), il bipolo equivalente ai morsetti A-B ha conduttanza equivalente pari a G=G'+G" (resistenza equivalente pari a R=R'R"/[R'+R"]). Detta I l'intensità della corrente in ingresso al parallelo A-B, l'intensità della corrente I' tra A' e B' è pari a I'=I G'/G=I R"/R, l'intensità I" tra A" e B" è pari a I"=I G"/G= I R'/R. In generale, l'intensità di corrente I si "ripartisce" tra resistori in parallelo secondo la relazione (detta del partitore di corrente) [I_k=f_II] essendo I_k la corrente nel resistore k-mo; f_I vien detto fattore di partizione e vale G_k/G, , dove G è la somma delle conduttanze; il segno dipende dalla scelta del riferimento I_k rispetto a I.

Reti elettriche

Connessione significativa di bipoli elettrici.

Topologia delle reti

Lato: costituito da un bipolo o, volendo, dal bipolo equivalente alla serie di più bipoli

Nodo: punto di connessione di più di due bipoli (si parla di nodo degenere se si considera la connessione di due bipoli)

Maglia: definita dalla connessione di bipoli lungo un percorso chiuso

Grafo (non orientato): mappa della connessione dei bipoli; il grafo si dirà ridotto se non vi sono connessioni in serie o in parallelo (o si sono considerati i bipoli equivalenti); un grafo si dirà completo se è prevista la connessione tra tutti i nodi (un grafo potrà essere sempre completato considerando bipoli aperti in luogo delle connessioni mancanti). Un grafo ridotto e completo poggiante su n nodi ha un numero di lati pari a L=[n (n-1) /2]

Albero: struttura fondamentale della rete, che collega tutti gli n nodi della rete, senza dar luogo a maglie; l'albero ha quindi (n-1) rami.

Coalbero: parte della rete complementare all'albero; il coalbero ha quindi L-(n-1) lati.

Sistema fondamentale

Considerata una rete di L lati (su ognuno dei quali vi sia un bipolo per ognuno dei quali è fissata la caratteristica V-I), risolvere la rete significa trovare i valori delle 2L incognite tensioni e intensità di corrente. Occorre quindi definire un "sistema fondamentale" risolvente; è necessario che questo sistema sia costituito da 2L relazioni indipendenti. Un "pacchetto" di L relazioni indipendenti è dato dalle stesse relazioni caratteristiche. Le altre relazioni saranno collegate ad elementi topologici della rete (nodi e maglie); saranno quindi chiamate "equazioni topologiche".

Equazioni ai nodi indipendenti ( I principio di Kirchhoff)

Ai singoli nodi si può esprimere un bilancio di carica: in condizioni stazionarie non vi può essere accumulo di carica in ogni volume che comprende il nodo. Facendo riferimento ad un fissato intervallo di osservazione, potremo esprimere quindi un bilancio di intensità di corrente: la somma "ponderata" delle intensità di correnti che interessano il nodo deve essere nulla, dove per "ponderare" le intensità basterà moltiplicare per un coefficiente (+1) [ oppure (-1)] l'intensità I se il riferimento è uscente dal nodo e per un coefficiente (-1) [(+1)] se il riferimento è entrante.

Se si considera l'albero, è immediato costatare che le prime (n-1) equazioni ai nodi che si scrivono sono indipendenti, mentre l'ultima è combinazione delle altre.

Equazione alle maglie indipendenti (II principio di Kirchhoff)

Per le singole maglie si può esprimere l'irrotazionalità del campo elettrico in condizioni stazionarie. Potremo esprimere quindi un bilancio di tensioni considerando l'annullarsi della circuitazione del campo elettrico lungo una maglia percorsa in senso orario [antiorario]: la somma "ponderata" delle tensioni incognite che interessano la maglia deve essere nulla, dove per "ponderare" le tensioni basterà moltiplicare per un coefficiente (+1) la tensione V se il riferimento assunto per la tensione è congruente con la circuitazione che si sta eseguendo e per un coefficiente (-1) nel caso contrario.

Se si considerano le maglie ottenute appoggiando all'albero i singolo lati del coalbero, si ottengono [L-(n-1)] equazioni alle maglie indipendenti; si può costatare che ogni altra equazione ottenuta considerando altre maglie è combinazione delle equazioni suddette.

Sistema fondamentale completo: soluzione

Una volta scritte le L equazioni caratteristiche e le L equazioni topologiche, ci si chiede se il sistema fondamentale ammette soluzioni. Atteso che le equazioni topologiche sono semplicissime equazioni lineari, potremo affermare che, se le caratteristiche sono "normali", il sistema ammette una ed una sola soluzione.

Se vi sono bipoli non lineari, occorrerà esaminare caso per caso le non linearità. In molti casi il sistema ammette una ed una sola soluzione (e ad essa potrà pervenirsi analiticamente con diversi metodi, ad esempio per sostituzione), in altre casi occorrerà procedere per via numerica (esempio: metodo di Newton-Raphson) o con altri metodi iterativi. In altri casi possono presentarsi soluzioni dipendenti dalla "traiettoria" nel piano V-I.

Teorema di scomposizione - Sovrapposizione degli effetti

Consideriamo una rete sostituita da bipoli "normali" (ossia a caratteristica rettilinea nel piano V-I). In tal caso il sistema fondamentale è un modello algebrico lineare.

Se il sistema è lineare, può essere considerare una qualsiasi scomposizione del vettore-colonna dei termini noti e "scomporre" la soluzione X in tante soluzioni X_i. Una utile scomposizione consiste nel considerare uno alla volta i termini noti relativi ai singoli generatori, in quanto è molto più semplice risolvere una rete lineare alimentata da un solo generatore. Quest'ultimo procedimento prende comunemente il nome di sovrapposizione degli effetti.

Conservazione della potenza nelle reti elettriche

Considerato che in regime stazionario la tensione su un lato posto tra i lati r ed s può essere espressa come differenza di potenziale ( V_rs = V_r - V_s ) e che vale la legge di Kirchhoff ai nodi r ed s, si può facilmente dimostrare che è nulla la somma - estesa a tutti i lati - delle potenze valutate con la stessa convenzione. Quindi è nulla la somma delle potenze assorbite da tutti lati ed è nulla la somma delle potenze generate da tutti i lati. Se non si è adottato per tutti i bipoli la stessa convenzione, la somma delle potenze assorbite - estesa a tutti i lati per cui si è fatta la convenzione dell'utilizzatore - è pari alla somma delle potenze erogate - estesa a tutti i lati per cui si è fatta la convenzione del generatore -.

Potenze virtuali - Teorema di Tellegen

Se si considerano due reti con ugual grafo (in sostanza con lo stesso numero di nodi) e con le stesse convenzioni sui lati omologhi (r-s,r'-s'), possiamo ugualmente dimostrare che la somma delle potenze virtuali V_rsI_r's' estesa a tutti le possibili connessioni è nulla (I teorema di Tellegen).

Bipoli in regime variabile (quasi stazionario): il resistore ed il condensatore ideali .

Se le grandezze sono variabili nel tempo, ma possiamo sempre parlare di una unica determinazione per l'intensità della corrente e della tensione, parleremo di bipoli in regime variabile quasi stazionario.

Definiamo resistore ideale in tali condizioni il bipolo per cui valga la relazione v(t)=Ri(t) qualunque siano i valori di tensione e corrente e qualunque sia t.

Definiremo condensatore ideale in condizioni quasi stazionarie il bipolo per cui valga la relazione i(t)=dq/dt=Cdv/dt dove la i è correlata alla variazione della carica q sulle armature del condensatore; il condensatore è un bipolo dinamico, in quanto abbiamo una relazione differenziale tra tensione e corrente. Il coefficiente C può essere in prima approssimazione considerato pari al rapporto tra carica e tensione in condizioni stazionarie (Capacità del condensatore).

L' intensità di corrente in un condensatore è in relazione differenziale con la tensione. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le informazioni per risalire al valore della tensione; infatti, considerando la convenzione dell'utilizzatore, si ha in un generico istante t

                 (*)

dove t_o è un qualsiasi istante di riferimento.

Si vede quindi che se posso conoscere la tensione in un certo istante t solo se conosco il valore della stessa in un istante precedente e l'andamento dell'intensità della corrente nell'intervallo tra gli istanti  t_o e    t

Metodo dei Potenziali Nodali

Se in una rete elettrica si assumono come incognite ausiliarie i potenziali degli n nodi della rete (considerato un nodo di riferimento, avremo n-1 nuove incognite), la tensione del lato posto tra il nodo r ed il nodo s sarà V_rs=V_r-V_s e la intensità di corrente, se il bipoli sono normali, sarà sel tipo I_rs=(V_r-V_s+E_rs)/R_rs, dove E_rs è il valore della tensione del generatore (con il primo morsetto rivolto ad r) ed R_rs è la resistenza del lato. Le n-1 equazioni indipendenti per conoscere i potenziali nodali si potranno dedurre dal bilancio delle correnti al nodo, scritto in funzione della differenza fra i potenziali nodali.

Formula di Millmann

Se la rete ha due soli nodi A-B ed L lati, basterà scrivere, posto V_B

dove il segno - virnr inserito nel caso di generatore Ek' con il primo morsetto rivolto verso B e generatore di corrente rivolto verso A.

Scrittura per ispezione del sistema ai potenziali nodali - Conduttanze proprie e mutue

Nel caso di bipoli normali, la matrice del coefficienti A nell'equazione A V + B = 0 (dove V è il vettore delle incognite potenziali nodali, di dimensioni n-1) è costituita dai termini di conduttanza propria sulla diagonale principale Grr , pari alla somma delle conduttanze dei lati incidenti nel nodo r, resi passivi . I termini fuori diagonale (r-s) vengono chiamati conduttanze mutue e rappresenta la conduttanza del lato considerato, cambiata di segno.

In tal modo il sistema fondamentale può essere impostato per ispezione.

Metodo delle correnti di maglia

Questo metodo è il duale del metodo dei potenziali nodali.

Se in una rete elettrica si considerano un insieme di ℓ-(n-1) maglie indipendenti - ad esempio considerando l'insieme dell'albero e di ciascuno degli ℓ-(n-1) lati del coalbero-, si può associare ad ogni maglia un percorso orientato, identificato con una quantità J_k omogenea con una intensità di corrente ("corrente fittizia di maglia").[4]

Le incognite correnti di lato si collegano con semplici relazioni alle correnti di maglia; la scrittura delle equazioni ai nodi in termine di correnti di maglia rivela (n-1) identità.

Se si assumono come incognite ausiliarie le ℓ-(n-1) correnti di maglia , atteso che per una rete lineare ogni caratteristica di lato potrà essere scritta in termini del tipo[5]

,

potremo scrivere le ℓ-(n-1) equazioni alle maglie in termini di correnti di maglia.

Potremo scrivere quindi un sistema "ridotto" in termini di correnti di maglia (con opportuni accorgimenti potremo anche in questo caso pervenire ad una scrittura "per ispezione") e quindi facilmente ricavare le incognite tensioni e correnti di lato.

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Generatore equivalente di tensione (Teorema di Thévénin)

Consideriamo una rete costituita da bipoli attivi e passivi accessibile ai morsetti A-B (bipolo attivo A-B).

Al fine di valutare la caratteristica della rete suddetta ai morsetti A-B ( ossia valutare il legame tensione corrente V-I), nel caso che la rete sia costituita da bipoli normali, può essere considerato un bipolo elementare costituito da un generatore reale di tensione ossia dalla serie di un generatore ideale di tensione V_o e di una resistenza R_eq (bipolo equivalente di Thevenin) dove V_o è la tensione V "a vuoto" cioè immaginando di collegare A-B ad un bipolo aperto ed R_eq è la resistenza equivalente della rete "vista" ai morsetti A-B quando nella stessa rete sono stati spenti tutti i generatori.

Il punto di lavoro effettivo è stabilito dal confronto della caratteristica del bipolo equivalente di Thevenin con la caratterista del bipolo "esterno" (che può essere un bipolo elementare [anche non lineare] o un altro bipolo equivalente [ovviamente lineare]).

Generatore equivalente di corrente (Teorema di Norton)  

Consideriamo di nuovo una rete costituita da bipoli attivi e passivi accessibile ai morsetti A-B (bipolo attivo A-B).

Al fine di valutare la caratteristica della rete suddetta ai morsetti A-B ( ossia valutare il legame tensione corrente V-I), nel caso che la rete sia costituita da bipoli normali, può essere considerato un bipolo elementare costituito da un generatore reale di corrente ossia dal parallelo di un generatore ideale di corrente I_cc e di una resistenza R_eq (bipolo equivalente di Norton) dovev è la "intensità della corrente di cortocircuito" cioè immaginando di collegare A-B ad un bipolo cortocircuito ed è R_eq la resistenza equivalente della rete "vista" ai morsetti A-B quando nella stessa rete sono stati spenti tutti i generatori.

Il punto di lavoro effettivo è stabilito dal confronto della caratteristica del bipolo equivalente di Norton con la caratterista del bipolo "esterno" (che può essere un bipolo elementare [anche non lineare] o un altro bipolo equivalente [ovviamente lineare]).

I bipoli di Thevenin e Norton sono ovviamente equivalenti tra loro; i tre parametri equivalenti sono legati dalla relazione I_cc = Vo/Req e quindi il terzo si potrà dedurre dalla conoscenza dei primi due.  

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Una rete accessibile da N coppie (porte) di morsetti ordinati (1-1'),(2-2'),,(N-N') prende il nome di N-bipolo (N-porte)

La caratterizzazione degli N-bipoli può essere effettuata a partire dalla  scelta della convenzione sulle singole porte (ad esempio può essere scelta per tutte le porte la convenzione dell'utilizzatore). Le singole porte possono poi essere alimentate con generatori di tensione o di corrente. Non vi è alcun vincolo per le tensioni e le correnti

Nella scelta della caratterizzazione dell'N-bipolo sono previste per i generatori due configurazioni fondamentali (alimentazione in corrente e alimentazione in tensione) ed altre ibride (generatori di corrente su alcune porte e di tensione su altre).

L'alimentazione fondamentale in corrente prevede quindi N generatori di corrente di valore arbitrario I ,I ,.,I_N

L'alimentazione fondamentali in tensione prevede N generatori di tensione V ,V ,.,V_N di valore arbitrario applicati alle N porte

Ci limiteremo in questa sede alla caratterizzazioni di N-bipoli lineari passivi nelle configurazioni fondamentali, sottolineando però che vi sono configurazioni ibride di un certo rilievo e diffusione, il cui modello è facilmente ricavabile.

Le relazioni tra correnti e tensioni alle porte (alimentazione su base tensione) è la seguente

I =G V +G V +.+G_1NV_N

I =G V +G V +.+G_2NV_N

(2)

I_N=G_N1V +G_N2V +.+G_NNV_N

che può essere riscritta in forma matriciale

                      (3)

dove I rappresenta l'array delle correnti ed V l'array (colonna) delle tensioni.

La matrice delle conduttanze

      (4)

gode delle seguenti proprietà :

ha rango uguale a N (il suo determinante è nullo): la matrice è invertibile;

gli elementi della diagonale principale (autoconduttanze) sono quantità non negative;

le conduttanze mutue possono essere quantità positive o negative;

per la proprietà di non amplificazione delle correnti, l'intensità I_k non potrà mai essere superiore in valore assoluto alla intensità I_j, dove sia considerato un generatore; si avrà quindi G_jk G_jj

il calcolo di G_jk e di G_kj si effettua su schemi reciproci, quindi G_jk=G_kj

In definitiva, il numero degli elementi "essenziali" di una matrice delle conduttanze si ottiene considerando che la matrice è simmetrica; esso vale quindi [N+ (N -N)/2] ossia N(N+1)/2 .

Le funzioni periodiche del tempo a(t) sono caratterizzate da un periodo T tale che, per ogni t, sia a(t)=f(t+kT) con k intero qualsiasi. L'inverso del periodo f=1/T viene detto frequenza; f si misura in hertz [inverso del secondo].

Le funzioni periodiche sono caratterizzate da un valore massimo (o picco positivo) e da un valore minimo[6], da un valore medio nel periodo e da un valore medio quadratico ( rms: root mean square) o valore efficace nel periodo

Le funzioni periodiche a valor medio nullo si dicono alternative.

Una funzione alternativa rettangolare ha il valore efficace coincidente con il valore massimo.

Una funzione sinusoidale del tipo

è periodica di periodo T, frequenza f e pulsazione w, fase iniziale a, è alternativa ed il suo valore efficace è pari a

Il punto di nullo più prossimo allo zeo è l'istante t*=-a w. Pertanto se a=0 la funzione è tipo seno, se a p/2 la funzione è del tipo coseno.

Una funzione b(t)=B_Msen(wt+b) è sfasata dell'angolo (b a) rispetto ad a(t); se tale angolo è positivo, b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t), se è negativo è sfasata in ritardo rispetto ad a(t); se il suddetto angolo di sfasamento è nullo, le due grandezze si dicono in fase, se l'angolo di sfasamento è p le due grandezze si dicono in opposizione di fase, se l'angolo è p/2 le due grandezze si dicono in quadratura (in anticipo o ritardo).

Osserviamo che se consideriamo la somma o la differenza di due funzioni sinusoidali della stessa pulsazione otteniamo una grandezza sinusoidale della stessa pulsazione; moltiplicando una funzione sinusoidale per una costante positiva [negativa] abbiamo una funzione sinusoidale della stessa pulsazione in fase [in opposizione di fase]; derivando rispetto al tempo una funzione sinusoidale abbiamo una funzione sinusoidale della stessa pulsazione in quadratura in anticipo.

Poiché il sistema fondamentale prevede relazioni del tipo anzidetto, se ne deduce che una soluzione sinusoidale di pulsazione w è compatibile con un sistema in cui i generatori (i termini noti) siano sinusoidali della stessa pulsazione; applicando il principio di identità dei polinomi trigonometrici, si può anche concludere che la soluzione è unica; tutte le grandezze incognite hanno pulsazione w

Le grandezze si diversificano quindi solo per l'ampiezza e la fase iniziale; possiamo quindi stabilire una corrispondenza biunivoca tra le funzioni sinusoidali e le coppie ordinate di numeri reali (numeri complessi) ossia i punti del piano cartesiano:

L'operatore di Eulero e^ja, formalmente definito come (cosa+jsena), è un operatore di rotazione: applicandolo ad un vettore A (fasore) del piano della rappresentazione - corrispondente della grandezza sinusoidale a(t)- si ottiene un vettore ruotato di α. Se in particolare α=p/2, si ha e^ja=j; un'altra rotazione di p/2 porta al vettore opposto ad A: infatti e^jp=j²=-1; una ulteriore rotazione di p/2 ci porta ad una rotazione complessiva e^j3p=j³=-j corrispondente ad una rotazione ("negativa") di -p/2: e^-jp =-j=1/j; una ulteriore rotazione di p/2 ci riporta sul vettore originario: e^j2p=j⁴=1

Alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione per costante nel dominio nel tempo corrispondono addizione, sottrazione e moltiplicazione per costante nel dominio della rappresentazione simbolica. All'operazione di derivazione corrisponde una moltiplicazione per jω ovvero una rotazione di p/2 ed una modifica dell'ampiezza.

N.B. Nella corrispondenza la coppia ordinata di numeri reali può essere sostituita (per tutti i fasori) da un valore univocamente legato all'ampiezza (ad esempio il valore efficace) e da un riferimento angolare qualsiasi.

Operatori complessi

In generale le operazioni tra fasori corrispondono ad una rotazione e modifica di ampiezza. L'operatore che le descrive avrà la forma

con M modulo dell'operatore, a argomento dell'operatore.

Circuito R-C in regime sinusoidale

Se consideriamo un circuito semplice costituito da un generatore ideale di tensione e(t)=E_Msen(ωt+a), un resistore di resistenza R ed un condensatore di capacità C, potremo ricavare per la corrente erogata dal generatore l'espressione

dove Xc=1/ωC è la reattanza capacitiva.

Operatori di impedenza e ammettenza

Nel metodo simbolico, il legame tra tensione e corrente per un bipolo si esprime nella forma (legge di Ohm alle grandezze simboliche, convenzione dell'utilizzatore):

                        (***)

(operatori di impedenza e di ammettenza)

L'argomento φ, per motivi che vedremo in seguito, prende il nome di angolo di potenza. La parte reale R dell'operatore di impedenza è l'operatore di resistenza, il coefficiente della parte immaginaria X è l'operatore di reattanza. L'impedenza si misura in ohm.

La parte reale G dell'operatore di ammettenza è l'operatore di conduttanza; il coefficiente dell'immaginario è l'operatore di suscettanza. L'ammettenza si misura in siemens. Da notare che G non è l'inverso di R e B non è l'inverso di X.

Nel caso del resistore ideale si ha Ż=R+j0, , con R=1/G pari al valore di resistenza. La tensione è in fase con l'intensità di corrente.

Nel caso dell'induttore ideale si ha Ż=0+j(X_L), , dove X_L=wL è la reattanza induttiva (mentre B_L=1/wL è la suscettanza induttiva). La tensione è in quadratura ed in anticipo rispetto all'intensità di corrente.

Nel caso del condensatore ideale si ha Ż=0+j(-X_C), , dove X_C=1/wC è la reattanza capacitiva (mentre B_C=wC è la suscettanza capacitiva).  La tensione è in quadratura ed in ritardo rispetto all'intensità di corrente.

Queste considerazioni inducono ad interpretare l'operatore di impedenza come una "serie" formata da un resistore ideale R e da un reattore ideale X (=X_L-X_C), ovvero, con un grado di libertà, come un circuito RLC serie; l'operatore di ammettenza può essere a sua volta interpretato come un "parallelo" formato da un resistore ideale di conduttanza G e da un reattore ideale di suscettanza B (=B_C-B_L), ovvero, con un grado di libertà, come un circuito RLC parallelo.

Data la relazione tra i due operatori, si deduce che ad ogni circuito RLC serie corrisponde un circuito RLC parallelo[7].

I casi X=0 e B=0 corrispondono ai circuiti risonanti (serie e parallelo) equivalenti a resistori ideali.

Se R=X=0 siamo in presenza di un bipolo corto-circuito ideale.

Se G=B=0 siamo in presenza di un bipolo aperto ideale.

La (***) può essere scritta per qualsiasi bipolo formalmente rappresentabile, non solo del tipo RLC. Può essere scritta anche per un generatore reale o ideale: in tal caso il bipolo non può essere ricondotto ad un circuito equivalente RLC.[8]

Lezione n.

Argomenti

Consideriamo un bipolo di morsetti r-s funzionante in regime sinusoidale. Consideriamo la potenza istantanea assorbita dal bipolo:

La potenza istantanea quindi in genere non è una grandezza sinusoidale, ma è caratterizzabile da un valore medio Pm (detto potenza media, attiva o reale) e da una potenza fluttuante sinusoidale a pulsazione doppia.

L'energia assorbita da un bipolo in un intervallo Dt pari ad un multiplo intero di periodi risulta pari a P_mDt, in quanto il contributo della potenza fluttuante è nullo. Se l'intervallo Dt non fosse esattamente pari ad un multiplo intero di periodi, il contributo all'energia assorbita fornito dalla potenza fluttuante sarebbe tanto più trascurabile quanto più Dt è grande rispetto al periodo.

La potenza fluttuante è tuttavia significativa. Basti pensare che essa ha un valore massimo superiore o uguale alla potenza media e che, considerando un bipolo reale, le sollecitazioni meccaniche sono legate alla potena istantanea. Ad esempio all'albero di un motore potrebbe essere applicata una coppia istantanea anche superiore alla coppia media; ciò porterebbe ad una sollecitazione di torsione intollerabile ovvero ad una sollecitazione "a fatica" che limiterebbe le prestazioni meccaniche a lungo termine.

Nel caso di bipoli resistivi, la potenza media è pari a RI², dove I è il valore "efficace" (come se considerassimo un caso stazionario), mentre nel caso di bipoli induttore (j=π/2) e condensatore (j=-π/2) la potenza media è nulla . Per un circuito RLC l'angolo di potenza j è compreso tra -π/2 e π/2 ed il fattore di potenza cosj tra 0 ed 1. Se risulta cosj<0 siamo sicuramente in presenza di un generatore o di un bipolo attivo (un bipolo si dirà passivo se in ogni condizione di funzionamento la potenza media assorbita risulterà negativa).

La potenza apparente (che compare sulla targa dei dispositivi) è definita come prodotto del valore efficace della tensione per il valore efficace della corrente; essa è una quantità positiva ed è da intendersi come potenza di dimensionamento, in quanto il suo valore è proporzionale al volume occupato dal dispositivo (la distanza tra i morsetti  è proporzionale alla tensione mentre la sezione dei conduttori è proporzionale all'intensità della corrente) e quindi al suo costo.

Per ogni bipolo si può introdurre una grandezza complessa formale, detta potenza complessa, che abbia come modulo la potenza apparente e come argomento l'angolo di potenza j. Essa si può ottenere moltiplicando il fasore della tensione per il coniugato del fasore dell'intensità di corrente

La grandezza Q_rs prende il nome di potenza reattiva.

Poichè la potenza complessa è una potenza virtuale (le correnti coniugate soddisfano per loro conto al 1° principio di Kirchhoff), per il teorema di Tellegen essa si conserva. Ne consegue la conservazione delle potenze reattive in una rete.

Lezione n.

Argomenti

Rifasamento

La potenza reattiva Q assorbita da un bipolo è, in genere, dello stesso ordine di grandezza della potenza media P; nel caso di bipolo passivo, la potenza reattiva ci dà indicazione se il bipolo è prevalentemente di tipo ohmico-induttivo (Q>0) o di tipo ohmico-capacitivo (Q<0).

Il dimensionamento di un bipolo è legato alla potenza apparente

Per ottimizzare tale dimensionamento - a parità di potenza media in gioco e quindi di energia - occorrebbe che fosse Q=0. Tutti i bipoli dovrebbero essere modificati in maniera da avere tensione e correnti in fase. Ciò è in linea di principio possibile se tutti i generatori ideali sono in fase o in opposizione di fase. In tal caso sarebbe possibile "aggiungere" (in serie o in parallelo) una reattanza tale che la reattanza (o suscettanza) equivalente sia nulla, ossia i bipoli siano risonanti (rifasamento locale  serie o parallelo).

In genere questa soluzione risulta molto gravosa. Dal punto di vista industriale, un compromesso si ottiene considerando l'utenza (quasi sempre di tipo ohmico induttivo con angolo di potenza j>26°) nel suo complesso ed inserendo un bipolo (condensatore in parallelo al carico) in maniera che l'Ente fornitore "veda" un fattore di potenza cosj_L>0,9 (j_L<26°).

Dal bilancio di potenza complessa o da considerazioni sul diagramma vettoriale delle grandezze simboliche otteniamo che il valore della capacità necessaria a rifasare un carico di potenza P sotto tensione V vale

Lezione n.

Argomenti

Bipoli dinamici

La caratteristica dinamica lega una grandezza con la derivata dell'altra. Nel condensatore l'intensità della corrente è proporzionale (con la convenzione dell'utilizzatore, tramite il coefficiente C capacità) alla derivata della tensione. Nell'induttore la tensione è proporzionale (con la convenzione dell'utilizzatore, tramite il coefficiente L induttanza) alla derivata della corrente.

La tensione sul condensatore e l'intensità della corrente nell'induttore sono funzioni di stato, legate all'energia immagazzinata. Per ricavare il valore in un istante generico t, occorre conoscere il valore ad un istante di riferimento e l'integrale della intensità della corrente nel condensatore e della tensione sull'induttore tra l'istante di riferimento e l'istante t. Tali grandezze di stato risultano quindi continue nei casi ordinari e possono essere considerate funzioni-memoria.

I bipoli suddetti sono lineari nelle relazioni differenziali, sono lineari nelle relazioni integrali solo se scarichi nell'istante iniziale di riferimento

Dinamica delle reti - sistema fondamentale - Dati iniziali

Il sistema fondamentale per una rete di l lati consta di l equazioni topologiche (sempre algebriche) e di l equazioni caratteristiche di cui n=n_L+n_C equazioni differenziali relativi a n_L ed n_c induttori e condensatori indipendenti.

Nel caso di sistema lineare, la soluzione è nota a meno di ls costanti arbitrarie, che andranno valutate in base al teorema di unicità di Cauchy, cioè in base alla determinazione del valore della funzione e delle sue n-1 derivate.

Considerato lo zero come istante di riferimento, indicheremo con 0- e 0+ rispettivamente due istanti infinitamente vicini allo zero da sinistra e destra e con f(0-) ed f(0+) il limite sinistro e destro della funzione f(t) nel punto zero.

Condizioni iniziali -Determinazione delle costanti arbitrarie

Per ricavare le condizioni iniziali della funzione (in genere non si tratta di una funzione a memoria) si considera la scrittura (foto) del sistema all'istante 0+.

In tale istante sono incognite quasi tutti i valori tranne quelli delle n funzioni di stato, note dallo 0-.Inoltre sono incogniti i valori allo 0+ delle n derivate che compaiono nelle caratteristiche dinamiche. In definitiva abbiamo n equazioni ai valori (algebrici) delle (l-n) grandezze e delle n derivate allo 0+. Il sistema è determinato e quindi siamo in grado di conoscere allo 0+:

i valori delle n grandezze di stato;

i valori delle l-n grandezze non di stato

i valori delle n derivate prime delle grandezze di stato.

Se occorre conoscere le derivate prime delle grandezze non di stato o le derivate seconde delle grandezze di stato, basta considerare il sistema di 2l equazioni ottenuto derivando una ad una le equazioni del sistema fondamentale.

In questo sistema derivato, letto allo 0+, conosciamo le derivate delle grandezze di stato dal ragionamento precedente e quindi possiamo conoscere allo 0+:

i valori delle derivate delle l-n grandezze non di stato

i valori delle n derivate seconde delle grandezze di stato.

Tale ragionamento può essere ripetuto fino a conoscere il valore iniziale della derivata di ordine (n-1).

La suddetta formulazione può essere espressa direttamente in forma "circuitale". Lo schema elettrico corrisponde infatti al sistema fondamentale e può essere letto in ogni istante, in particolare allo 0+.

La "foto" del sistema allo 0+ vede quindi i valori delle funzioni note (in genere i generatori) valutate allo 0+ ed i valori delle grandezze di stato note in quanto continue dallo 0-.

Per il principio di sostituzione, possiamo quindi inserire al posto dei condensatori generatori di tensione v(0-), al posto degli induttori, generatori di corrente.

La rete in tal modo diventa "resistiva" e ad essa possono essere applicate tutte le proprietà delle reti lineari. Possono essere quindi ricavate tutte le grandezze della rete allo (0+).

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Lezione del 7 dicembre

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Trasformatore ideale

Trattasi di un doppio bipolo ideale, caratterizzabile con parametri ibridi o, più semplicemente dalle relazioni v /v =a , i /i =-1/a  (a - detto rapporto di trasformazione- è numero reale diverso da zero). Esso può essere letto come trasformatore di tensione e/o di corrente. Le tensioni e le correnti s'intendono costanti o variabili nel tempo. Il trasformatore ideale è trasparente alla potenza istantanea.

Per numerose applicazioni, si considera il funzionamento in regime sinusoidale. In tal caso, il trasformatore ideale si mostra trasparente alla potenza complessa. Il trasformatore ideale si comporta anche come trasformatore d'impedenza: se Z_u è un'impedenza collegata alla seconda porta, l'impedenza equivalente alla prima porta vale Z_1eq=a Z_u

Circuiti accoppiati - Accoppiamento perfetto - rete equivalente

L'accoppiamento magnetico tra due circuiti di coefficienti di autoinduzione L , L e mutua induzione M è valutato dal coefficiente k=M/√ L L . Tale coefficiente è in valore assoluto non superiore all'unità, dovendo essere non negativa l'energia magnetica, funzione quadratica delle correnti, con parametri L , L ,M .

Per k=±1, l'accoppiamento si dice perfetto: l'energia magnetica è nulla (il campo magnetico è nullo in tutto lo spazio) anche se le correnti non sono nulle, ma nel rapporto i /i = √L /L

Due circuiti accoppiati possono essere studiati con il modello del doppio bipolo, matrice Z. Nel caso di accoppiamento perfetto, il doppio bipolo è equivalente ad un trasformatore ideale con un induttore L [L ] in parallelo sulla prima [seconda] porta. Tale doppio bipolo è equivalente quindi in genere ad un trasformatore di tensione e non è trasparente alla potenza reattiva; rispetto ad un trasformatore di corrente è presente la corrente a vuoto alla prima [seconda] porta. Tale corrente sarà nulla se alla seconda [prima] porta è collegato un bipolo cortocircuito: in tal caso il doppio bipolo si comporta come un trasformatore di corrente, ma ambedue le tensioni sono nulle. Tale corrente sarà tanto inoltre più trascurabile quanto più grande è la reattanza ωL rispetto al modulo di Z_1eq=a Z_u