Geodesia e gravimetria

Geodesia e Gravimetria

La Geodesia è la disciplina che studia la forma e le dimensioni della Terra. La prima stima delle dimensioni terrestri viene fatta risalire ad Eratostene (Cirene 273 - Alessandria 192 a.C.), il quale determinò la lunghezza della circonferenza terrestre misurando l'ampiezza dell'arco di meridiano che univa Alessandria ad Assuan (l'antica Siene).

Eratostene aveva notato che durante il solstizio d'estate a mezzogiorno i raggi solari risultavano perpendicolari a Siene, mentre ad Alessandria producevano ombra. L'inclinazione dei raggi solari rispetto alla verticale di Alessandria fu misurata da Eratostene in 1/50 di angolo giro.

Poichè tale angolo è evidentemente uguale all'angolo al centro che sottende l'arco di meridiano che unisce Alessandria a Siene e la distanza tra le due città era allora stimata in 5.000 stadi egiziani, una semplice proporzione permette di calcolare la lunghezza dell'intera circonferenza, pari a 50 volte 5.000 stadi (250.000 stadi, valore sorprendentemente vicino alle stime attuali).

Il metodo di Eratostene è fondamentalmente usato ancora oggi. Esso pone però dei problemi per quel che riguarda l'accuratezza e l'attendibilità nella misura delle lunghezze (gli angoli si misurano con estrema precisione).  Si pensi ad esempio che nel 1527 J. Fernel, medico di corte del re di Francia, valutò la distanza tra Parigi ed Amiens contando il numero di giri effettuati dalle ruote della sua carrozza, ottenendo una misura del grado di meridiano di 111 km.

La misura delle lunghezze giunse ad una precisione accettabile con l'introduzione del metodo della triangolazione. Nel 1617 l'olandese Willebrord Snell (Snellius) pubblicò i risultati del primo rilevamento geodetico (1615) eseguito con tale metodo (proposto verso la fine del '500 da Brahe), in cui ottenne come lunghezza del grado di meridiano 55.100 tese (circa 107,4 km).

Il metodo si basa sulla individuazione sulla superficie terrestre di una catena di triangoli aventi vertici e lati in comune, costruiti in modo da raccordare gli estremi A e G dell'arco di meridiano. Si esegue con grande precisione la misura di un solo lato (base geodetica) di cui si determina anche l'orientamento rispetto al meridiano, mentre tutti gli altri lati si ricavano dalle misure degli angoli (molto più semplici e precise da effettuare rispetto alle misure di distanza), utilizzando le usuali regole della trigonometria. La misura dell'arco AG si ottiene come somma delle proiezioni dei lati dei triangoli sul meridiano stesso.

Fino alla metà del Seicento si riteneva che la terra fosse perfettamente sferica. Ciò comportava che la misura di un arco di meridiano di 1° poteva essere effettuata a qualsiasi latitudine, fornendo sempre il medesimo risultato. I primi dubbi sul fatto che la terra fosse una sfera perfetta sorsero in seguito ai risultato conseguiti nel 1671 dall'astronomo francese J. Richer.

Nell'ambito delle attività promosse dalla Académie des Sciences di Parigi, Richer si era trasferito nell'isola di Cayenne nella Guyana francese, per osservare in contemporanea con G.D. Cassini (Cassini I), rimasto a Parigi, un'opposizione di Marte. Lo scopo della duplice osservazione era di determinare la parallasse del pianeta, essendo nota la distanza tra i due punti di osservazione (base parallattica). Ma Richer scoprì che in Guyana, a 5° di latitudine nord, il pendolo che si era portato da Parigi per la misura del tempo ritardava di circa 2,5 minuti al giorno. Richer spiegò il fenomeno ipotizzando che la terra non fosse perfettamente sferica, ma rigonfia nelle zone equatoriali.

Venuto a conoscenza del fenomeno, Newton, che in quel periodo lavorava alla sua teoria della gravitazione, intuì che l'effetto sul pendolo poteva essere spiegato con una diminuzione locale del valore dell'accelerazione di gravità g.

Il periodo di oscillazione di un pendolo di lunghezza l è infatti pari a

In effetti la diminuzione che il valore di g manifesta mentre ci si avvicina all'equatore è dovuta a due componenti:

a) aumento della forza centrifuga, legato all'aumento della distanza D dall'asse di rotazione

b) diminuzione della forza gravitazionale, legata alla maggior distanza R dal centro della terra

L'accelerazione di gravità g è infatti il risultato della composizione di due vettori: l'accelerazione centrifuga (a_c D) e l'accelerazione dovuta alla sola forza di attrazione gravitazionale o newtoniana (a_N = )

Se ipotizziamo che la terra si possa comportare almeno parzialmente come un fluido, la forza centrifuga, il cui valore cresce costantemente dai poli (dove è nulla, D = 0) all'equatore (dove assume il valore massimo (D = R), deve averla deformata, provocando un rigonfiamento all'equatore ed una depressione ai poli. Il raggio terrestre non deve quindi essere costante alle varie latitudini e con esso anche l'arco di meridiano di 1°.

In base a considerazioni teoriche Newton era dunque convinto dello schiacciamento polare della terra, mentre in Francia Cassini sosteneva che la terra fosse protuberante ai poli.

Ora, poiché si può dimostrare che se la terra è rigonfia all'equatore un grado di meridiano assume il suo valore massimo nelle zone polari, per diminuire man mano che ci spostiamo verso le basse latitudini, la questione poteva essere risolta misurando e confrontando archi di meridiano di egual ampiezza misurati a diverse latitudini.

Tra il 1669 ed il 1670 Picard aveva misurato un arco di meridiano tra Parigi ed Amiens. Utilizzando tale misura i geodeti dell'Accademie delle Scienze di Parigi, prolungarono e misurarono verso nord (fino a Dunkerque) e verso sud (fino a Collioure) l'arco misurato da Picard. I risultati ottenuti (1683 - 1718) sembrarono inizialmente confermare l'ipotesi di Cassini del rigonfiamento polare. Ma le misurazioni apparivano eccessivamente imprecise per essere accettate come definitive.

Per poter ottenere dati  conclusivi l'Accademia delle Scienze inviò due spedizioni a misurare un grado di meridiano al polo e all'equatore, dove le eventuali differenze sarebbero state sicuramente evidenti.

La prima (1736 - 1737) in Lapponia, diretta da Maupertuis e alla quale partecipò anche Clairaut, trovò che l'arco di un grado di meridiano misurato in prossimità del polo nord era inequivocabilmente più lungo dell'arco di un grado misurato in Francia da Picard. Il risultato venne definitivamente confermato anche dalla seconda spedizione in Perù (1735 - 1744), alla quale partecipò tra gli altri Bouguer.

Sferoide ed ellissoide

Uno dei compiti fondamentali della geodesia è dunque descrivere la forma di tale sfera deformata.

Se ipotizziamo che la terra si comporti come una sfera fluida in equilibrio sotto l'azione delle forze ad essa applicate (gravitazionali e centrifughe), la sua superficie dovrebbe disporsi sempre perpendicolarmente alla risultante di tali forze (gravità), in modo tale che non si produca nessun lavoro netto che possa ulteriormente modificarne la forma (un movimento perpendicolare alla forza non compie infatti lavoro).

Tale superficie teorica può essere calcolata e prende il nome di sferoide. L'equazione in coordinate polari assume la forma (trascurando i termini in con potenze superiori alla prima)

Dove R_c indica la distanza dal baricentro dello sferoide e _c la latitudine geocentrica. Il significato dei parametri a ed si ricava facilmente.

Infatti per _c = 0° e quindi sen _c = 0, R_c = a (semiasse maggiore o raggio equatoriale).

Mentre ponendo _c = 90° e quindi sen _c = 1, poiché ai poli deve essere R_c = b (semiasse minore o raggio polare), la relazione diventa

           e quindi 2)

dove  è definito schiacciamento polare (o ellitticità o ellissoidicità).

Se ora si prende in considerazione l'ellissoide di rotazione che ha gli stessi semiassi (a e b) dello sferoide, si trova che esso coincide in pratica con lo sferoide (le differenze nel raggio non superano i 14 metri). Poichè per i calcoli l'ellissoide risulta più semplice, si è convenuto di assumere quest'ultimo come superficie teorica di riferimento per rappresentare la forma della terra.

L'equazione in coordinate cartesiane di una sezione meridiana dell'ellissoide è

per trasformare tale equazione in coordinate polari, notiamo come le coordinate x e y di un generico punto P sulla superficie dell'ellissoide rappresentino la proiezione del raggio R_c sugli assi cartesiani e quindi

        

Nell'ellisse il rapporto tra le dimensioni reciproche dei due semiassi è espresso da un parametro detto eccentricità e, per il quale vale la relazione

e quindi

Eseguendo le opportune sostituzioni, si ottiene l'equazione dell'ellisse in coordinate polari in funzione della latitudine geocentrica

ed essendo sen cos , si ottiene infine

Si noti come tra schiacciamento polare ed eccentricità e sussista la seguente relazione

e

Tenendo conto della 3) e della 5) la relazione 4) può essere scritta

Coordinate geocentriche e geografiche

La relazione 4) non può essere utilizzata direttamente per calcolare la distanza di un punto P dal centro della terra o la lunghezza di un arco di meridiano, in quanto noi non misuriamo la latitudine geocentrica (_c), ma la latitudine geografica o geodetica (_g), cioè l'angolo che la verticale del luogo (direzione del filo a piombo) forma con il piano equatoriale.

Possiamo comunque calcolare quale sarebbe la direzione della verticale teorica sull'ellissoide di riferimento e determinare di conseguenza la relazione tra latitudine geocentrica e latitudine geografica ellissoidica. Si noti comunque che la verticale ellissoidica è solo teorica in quanto non coincide necessariamente con la verticale vera (filo a piombo). Ciò è dovuto all'esistenza di disturbi gravitazionali locali (anomalie gravimetriche), legati alla non omogenea distribuzione delle masse terrestri, che producono deviazioni sul filo a piombo.

L'inclinazione della tangente alla curva in coordinate polari vale

dove con R' indichiamo la derivata prima della funzione che per l'ellisse 4) vale

sostituendo opportunamente nella relazione precedente e semplificando otteniamo

Poichè l'inclinazione della retta normale (verticale) alla tangente vale

potremo infine scrivere

o, tenendo presente la 3) e la 5),

      e

Le dimensioni dell'ellissoide

Per poter fissare in modo univoco le dimensioni dell'ellissoide di riferimento è necessario determinare il valore di almeno due parametri. In genere viene determinato il valore del semiasse maggiore (a) e dello schiacciamento polare (

La determinazione di tali parametri può essere fatta confrontando misure di lunghezza di archi di meridiano fatte a latitudini diverse.

La lunghezza di un arco s di curva in coordinate polari, compreso tra l'angolo _A e _B

Se utilizziamo tale relazione per calcolare un arco di ellisse a diverse latitudini geocentriche usando la funzione 6) troviamo che gli archi di un ellisse che sottendono angoli di pari ampiezza sono in realtà più lunghi nella zona equatoriale. Il problema si risolve o sostituendo i limiti di integrazione in funzione delle coordinate geografiche utilizzando la 7)

o, più semplicemente, utilizzando la relazione che fornisce il raggio di curvatura in funzione della latitudine geografica ellissoidica _g

Il raggio di curvatura in un punto P di una curva è il raggio del cerchio osculatore, cioè del cerchio che presenta, nel punto considerato, la medesima curvatura della curva. Nel punto P curva e cerchio osculatore presentano un tratto d'arco infinitesimo ds in comune. Tale arco può quindi essere ottenuto come prodotto tra il raggio e l'angolo infinitesimo d (espresso in radianti) ad esso sotteso

ds = d

integrando dunque tra le latitudini geografiche e si ottiene la lunghezza dell'arco di meridiano tra esse compreso.

Se dunque disponiamo di almeno due misure di lunghezza di un arco di meridiano effettuate a latitudini diverse, ad esempio l'arco di meridiano s_A-B compreso tra le latitudini _A e _B e l'arco di meridiano s_M-N compreso tra le latitudini _M e _N, possiamo evidentemente scrivere un sistema di due equazioni nelle incognite e ed a.

           

La soluzione di tale sistema permette di determinare le dimensioni dell'ellissoide.

In effetti per ottenere risultati attendibili è necessario effettuare molte misurazioni. Ciò è dovuto al fatto che nelle relazioni utilizzate per i calcoli compaiono le latitudini geografiche ellissoidiche (riferite alla verticale teorica sull'ellissoide), mentre noi misuriamo le latitudini geografiche astronomiche (l'altezza delle stelle sull'orizzonte riferita alla verticale vera). Poichè d'altra parte le deviazioni del filo a piombo rispetto alla verticale teorica ellissoidica si distribuiscono casualmente sia in eccesso che in difetto, in un numero elevato di misurazioni  le deviazioni assumono carattere di errore accidentale, eliminabile con opportuni procedimenti statistici di calcolo.

Con lo scopo di promuovere le ricerche sulla forma e le dimensioni della Terra, nel 1861 venne fondata l'Associazione Internazionale per la Misura del Grado' trasformatasi poi nell''Unione Geodetica e Geofisica Internazionale' (IUGG).

GRS = Geodetic Reference System (IUGG)

WGS = World Geodetic System

GPS = Global Positioning System

L'appiattimento può essere calcolato anche con misure gravimetriche.

Gravimetria

Essendo l'ellissoide una superficie teorica equipotenziale è possibile calcolare in modo preciso il valore del campo gravitazionale teorico ad essa associato. Il valore dell'accelerazione di gravità teorica sull'ellissoide è detto gravità normale

La gravità normale può essere calcolata in modo rigoroso, ma si preferisce usare i primi termini di uno sviluppo in serie di calcolo più semplice.

Ponendo j_g = 0° si determina il significato fisico di  _e che risulta essere la gravità all'equatore.

Nell'approssimazione di I ordine la 10) diventa

dove il significato di si trova ponendo _g = 90°, cioè calcolando la gravità _p al polo.

e quindi

Le costanti e sono legate dalla fondamentale relazione di Clairaut (1743)

c

dove m = è il rapporto tra l'accelerazione centrifuga e la gravità normale all'equatore e c = 1 (nell'approssimazione di Clairaut).

Le relazioni 11) e 12) sono fondamentali perché permettono di determinare il valore dello schiacciamento in base a semplici misure gravimetriche.

Nell'approssimazione di II ordine la 10) diventa

e tenendo conto che

ponendo infine (a_o + a₁) = b e si ottiene

in modo tale che il primo coefficiente (b) mantenga il significato fisico visto in precedenza

Nel 1929 Somigliana determinò una relazione approssimata ancor oggi diffusamente utilizzata, derivandola dalle soluzioni esatte del campo geopotenziale trovate nel 1894 da Pizzetti.

Nell'approssimazione di Somigliana c è una funzione di a che, sviluppata in serie, fornisce

Trascurando i termini con potenze superiori alla prima si ha e la relazione di Clairaut diventa

            e quindi

La formula approssimata di Somigliana (o formula di Somigliana-Pizzetti) per la gravità normale è

12)

L'accelerazione di gravità g è misurata, in onore di Galileo, in gal.

1 gal = 1 cm/s

Le misure di gravità possono essere assolute o relative: con le prime si misura direttamente il valore di g in un certo luogo, con le seconde (molto più semplici) si misura il rapporto o la differenza di gravità tra un luogo ed un altro di cui si possieda una misura assoluta.

Le misurazioni assolute di gravità si eseguono essenzialmente utilizzando il pendolo () o sfruttando la legge di caduta dei gravi ().

Le misure relative si eseguono tramite gravimetri, i quali misurano g utilizzando la relazione tra forza-peso P e massa m (P = mg).  Un gravimetro è in pratica costituito da una massa m sostenuta dalla tensione di una molla. Dopo esser stato tarato in un luogo di cui sia nota la gravità assoluta, il gravimetro misura le differenze di peso P (e quindi di g) che la massa m (considerata costante) manifesta in luoghi diversi rispetto al luogo di taratura.

Le misure gravimetriche così effettuate forniscono valori di gravità effettivi, determinati sulla superficie fisica della terra. Per essere utilizzati al fine di determinare i parametri della relazione 10) tali valori devono essere corretti per tener conto dell'altezza, della distribuzione locale delle masse (rilievi e avvallamenti), della loro densità etc. Le correzioni da apportare ai valori misurati per ottenere i valori teorici (normali) vanno sotto il nome di riduzione all'ellissoide.

a) Riduzione in aria libera (o riduzione per l'altezza o riduzione di Faye)

Tale correzione tiene conto unicamente della variazione della forza gravitazionale (e quindi di g) con la distanza dal centro della terra. Essa dipende quindi unicamente dalla quota h del punto P in cui è stata effettuata la misura rispetto alla proiezione P' dello stesso punto sulla superficie dell'ellissoide di riferimento (livello del mare).

La correzione in aria libera vale

e sostituendo a g e ad R il loro valore medio la correzione, espressa in mgal, vale 0,3086 h con la quota espressa in metri.

Se h è positivo (il punto P si trova cioè su di un rilievo) il valore di g misurato risulterà inferiore a quello teorico (essendo P più distante dal centro della terra di P').  La correzione in aria libera deve in tal caso essere aggiunta alla g misurata per ridurla al livello del mare.

b) Riduzione di Bouguer (o correzione per la piastra)

Con tale correzione si elimina l'attrazione esercitata sul punto P dalla materia compresa tra il punto P e la superficie di riferimento. A tal fine si considera la piastra di altezza h e densità (in genere

La correzione per la piastra vale

espressa in mgal con h in metri.

c) Riduzione topografica

La riduzione di Bouguer non tiene evidentemente conto delle masse che sporgono dalla piastra (A) e di quelle che mancano (B) e che rappresentano la vera topografia del rilievo.

Il contributo delle zone A e B è analogo e va sommato alla g misurata ( la riduzione topografica è sempre positiva). Infatti le zone B sono state tolte con la correzione di Bouguer ed ora è necessario aggiungerle. Le zone A, trovandosi al di sopra del punto P, esercitano un'attrazione opposta a quella esercitata dalla massa terrestre sottostante, facendo diminuire il valore di g. Anche in questo caso è quindi necessario sommare a g il loro apporto. La formula per il calcolo di tale correzione è piuttosto complicata, per cui sono disponibili valori tabulati.

Utilizzando misurazioni gravimetriche opportunamente ridotte ed effettuate in più punti della superficie terrestre, diversi geodeti in questo secolo  hanno determinato i valori di _e e ' presenti nella relazione 11), ottenendo quindi di conseguenza (supposto noto a per altra via) anche il valore dello schiacciamento dalla relazione di Clairaut.

Nella II^a Assemblea Generale (Madrid 1924) l'IUGG decise di assumere convenzionalmente come ellissoide internazionale di riferimento quello calcolato da Hayford (a = 6.378.388;

Nel 1930 l'IUGG, utilizzando il valore di _e determinato da Heiskanen (978.049) e i valori di e ' ottenuti sostituendo nella relazione di Somigliana i parametri dell'ellissoide di Hayford, adottò come formula per la gravità normale la seguente

Nel 1967 (XIV Assemblea Generale IUGG - Lucerna 1967) L'Associazione Internazionale di Geodesia (IAG) propose di assumere un nuovo ellissoide di riferimento (GRS-67) con a = 6.378.160 e = 1/298.247.. Utilizzando tali parametri ed il valore 978.03185.. per la gravità all'equatore si ottiene la Formula della gravità 1967:

Nel 1980 l'IAG (XVII Assemblea Generale - Camberra 1979) ha proposto, assieme al nuovo geoide di riferimento (GRS-80) con a = 6.378.137 e = 1/298.257222101, anche una nuova formula di gravità con g_e = 978.0327

la quale, approssimata al secondo ordine, diventa

Ma l'ellissoide di Hayford resta ancor oggi diffusamente utilizzato nelle applicazioni geodetiche. L'Istituto Geografico Militare utilizza invece per la cartografia 1:100.000 l'ellissoide di Bessel.

Il geoide

L'ellissoide è evidentemente una rappresentazione geometrica della terra che non tiene conto delle irregolarità della crosta terrestre. Se i valori di g opportunamente ridotti coincidessero ovunque con i valori normali della gravità in modulo e direzione allora l'ellissoide rappresenterebbe anche fisicamente una superficie equipotenziale. Poichè ciò non avviene deve esistere una superficie equipotenziale fisica della gravità ridotta, che Gauss e Bessel chiamarono 'superficie matematica della terra' e alla quale venne in seguito (Listing,1873) dato il nome di geoide.

La forma del geoide non viene calcolata direttamente, ma se ne calcolano le differenze rispetto all'ellissoide di riferimento. Gli scostamenti che il geoide manifesta rispetto all'ellissoide sono dette onde geoidiche.

I procedimenti utilizzati per la determinazione della forma del geoide sono essenzialmente tre: il primo (Villarceau - 1873) utilizza le deviazioni della verticale, il secondo (Stokes - 1849) si avvale della determinazione delle anomalie gravimetriche. In entrambi i casi si eseguono confronti tra il vettore (gravità normale) ed il vettore g. Nel primo caso si valutano le differenze nella direzione, nel secondo le differenze in modulo. Il terzo metodo sfrutta i disturbi gravitazionali che il geoide produce sulle orbite dei satelliti artificiali.

a) deviazioni della verticale

Si definisce deviazione della verticale l'angolo che la verticale forma in un punto con la normale all'ellissoide (verticale teorica).

Supponiamo di determinare la verticale di un punto A e le sue coordinate astronomiche con grande precisione. Si ipotizzi ora che in tale punto (punto di emanazione o centrale) la verticale (normale al geoide) coincida con la verticale all'ellissoide. Si esegua ora una triangolazione da A ad un punto B fino a determinarne le coordinate. La triangolazione permette di calcolare le coordinate di B riferite all'ellissoide ( '). Si determinino ora le coordinate astronomiche (geografiche) di B ( ). Le differenze e  tra coordinate ellissoidiche ed astronomiche rappresentano le componenti in latitudine e longitudine dell'angolo che la normale all'ellissoide forma con la verticale fisica. Con opportuni procedimenti di calcolo è poi possibile trasformare le differenze in ampiezza in un dislivello h tra la superficie del geoide e dell'ellissoide.

Il procedimento della deviazione della verticale, fondandosi sulle triangolazioni, non può essere esteso alle regioni oceaniche.

b) anomalie gravimetriche

Il metodo che utilizza le anomalie gravimetriche è di applicazione più semplice e non presenta le limitazioni del precedente. Esso consiste nel calcolare la differenza tra i valori di gravità misurata ed opportunamente ridotta all'ellissoide (g), con i valori di gravità normale (

g = g -

Le differenze trovate g vengono dette anomalie gravimetriche e permettono di risalire agli scostamenti tra ellissoide e geoide, attraverso la relazione di Stokes.

c) Precessione dei satelliti artificiali

Il rigonfiamento equatoriale disturba gravitazionalmente le orbite dei satelliti artificiali. Ciò produce un momento torcente che tenderebbe a far coincidere il piano orbitale con il piano equatoriale. Poichè il momento angolare del satellite si conserva, il risultato è un movimento di precessione, un progressivo spostamento del punto di intersezione dell'orbita del satellite con il piano equatoriale. La misura di tale spostamento tra due successivi passaggi di un satellite all'equatore fornisce una misura piuttosto precisa dello schiacciamento polare

Le onde geoidiche presentano rispetto all'ellissoide un'ampiezza massima dell'ordine di 100 m.

Lunghezza del grado di meridiano

(ellissoide internazionale)

Determinazione del raggio dell'ellissoide

Per stimare il raggio terrestre con la 4) dobbiamo sostituire la latitudine geocentrica con quella geografica. Eleviamo dunque al quadrato la relazione 4) e sostituiamo  e secondo la 3)

         

    

dividiamo ora numeratore e denominatore per b cos _c

ricordando che cos + sen = 1 e che  potremo scrivere

essendo infine 

 

e quindi

Determinazione del modulo dell'accelerazione centrifuga

L'accelerazione centrifuga a_c nel punto P di latitudine geocentrica _c, possiede un modulo pari a

dove è la velocità angolare della terra, la quale compie una rotazione completa (2 radianti) intorno al proprio asse in un giorno sidereo (86.164 s)

e D è la distanza dall'asse di rotazione, pari a

14)

esprimiamo ora D in funzione della latitudine geografica _g. Sostituiamo nella 14) il valore di R_c ottenuto nella 4) ed eleviamo al quadrato

sostituiamo  e secondo la 3)

        

dividiamo ora numeratore e denominatore per b cos _c

sostituiamo ora la latitudine geocentrica con la latitudine geografica, utilizzando la 7)

     

e quindi

sostituendo ora nella 13) potremo calcolare il modulo dell'accelerazione centrifuga in funzione della latitudine geografica

Determinazione vettoriale dell'accelerazione newtoniana (o gravità vera)

Abbiamo già visto come l'accelerazione gravitazionale g può essere considerata la somma vettoriale dell'accelerazione newtoniana a_N e dell'accelerazione centrifuga a_c. Possiamo dunque determinare il modulo dell'accelerazione newtoniana (gravità vera) nel punto P di latitudine geografica _g che, per la regola del parallelogramma, è uguale al segmento BC.

Consideriamo ora il triangolo rettangolo ABC.

ora, poiché l'angolo che la verticale forma con la direzione del vettore accelerazione centrifuga è uguale alla latitudine geografica _g, possiamo scrivere

 

sostituendo opportunamente otterremo infine

utilizzando ora la 10) per stimare l'accelerazione di gravità g (sostituiamo la gravità g con la gravità normale calcolata sull'ellissoide) e la 16) per calcolare l'accelerazione centrifuga, si ottengono i seguenti valori

Nei calcoli che implicano la gravità reale è necessario utilizzare il valore di a_N e non di g (o di ). Ad esempio per calcolare la massa della terra possiamo utilizzare le due relazioni che esprimono l'attrazione gravitazionale che un corpo di massa m subisce da parte della massa M_T della terra.

        

Si noti come non compare il peso del corpo (P = mg), ma la sola forza di attrazione gravitazionale. Eguagliando i due secondi membri si ottiene

in prima approssimazione possiamo utilizzare l'accelerazione newtoniana a 45° di latitudine pari a  9,823 m/s , ed il raggio medio dell'ellissoide , pari a 6,371 10 m. Con La costante di gravitazione universale G = 6,67259 10 otteniamo il valore

M_T kg

Il valore IAU 76 è 5,974 10²⁴ 4 10²¹ kg

Determinazione dell'angolo tra il vettore e a_N

Osservando come il segmento AB = a_c sen _c è uguale al segmento A'B' = a_N sen possiamo scrivere

          e quindi 17)

utilizziamo la 17 per costruire la tabella seguente e confrontiamo i valori con le differenze tra latitudine geografica e geocentrica calcolate con la 

Come si può osservare dalla tabella, a parte all'equatore e ai poli, l'angolo è sempre minore dell'angolo _{g c}. Ciò significa che anche il vettore a_N (e non solo il vettore g) non punta in realtà verso il centro dell'ellissoide, ma risente dell'attrazione prodotta dal rigonfiamento equatoriale e viene leggermente deviato verso l'esterno.