Cinematica

Cinematica

La cinematica ha per oggetto le proprietà geometriche del movimento; comprende pertanto la cinematica del punto e la cinematica dei sistemi rigidi. D'Alembert riconobbe l'importanza di questa parte della meccanica come scienza distinta, e Ampère per primo mostrò la necessità di formulare una teoria geometrica a fondamento della dinamica. La descrizione del movimento di un punto o di un sistema avviene individuandone la posizione in ogni istante, cioè determinando il modo di variare nel tempo della sua configurazione nello spazio. A questo scopo è necessario innanzi tutto assegnare un ente di riferimento rispetto al quale descrivere il moto: anzi il concetto stesso di moto o di quiete richiede che si stabilisca l'oggetto rispetto al quale il corpo considerato risulta in moto o in quiete. Nella cinematica classica viene assegnato solo il sistema di riferimento spaziale rispetto al quale è descritto il moto, mentre il tempo è assunto come un parametro universale, indipendente dal sistema di riferimento spaziale; la cinematica relativistica ha superato questa impostazione e ha stabilito un nuovo significato della variabile tempo, che risulta strettamente legata alla posizione nello spazio, attraverso una mutata definizione operativa dei concetti di simultaneità, futuro, passato. Le leggi formulate dalla cinematica classica e relativistica devono quindi soddisfare esigenze diverse, poiché dipendono da concezioni diverse del sistema di riferimento: nel caso classico, si richiede che esse abbiano la stessa formulazione quando siano espresse in sistemi di riferimento che si muovono di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, ma per i quali il tempo è lo stesso. Per le proprietà di invarianza richieste dalla teoria relativistica.

 Cinematica del punto

Tutte  le volte che le dimensioni del mobile sono praticamente trascurabili rispetto a quelle della regione entro cui si svolge il movimento, conviene trattare il corpo stesso come un punto. Questa parte della cinematica studia quindi il caso ideale di un punto mobile e si propone di determinare la funzione P = P(t) che individua la posizione del punto P in ogni istante di tempo t, rispetto a un sistema di riferimento assegnato (per la formulazione analitica della teoria, si usano quasi sempre sistemi di riferimento cartesiani, oppure coordinate polari o cilindriche). Il luogo delle posizioni occupate dal punto nello svolgersi del tempo è la traiettoria, che può essere o rettilinea o curvilinea; nel caso particolare in cui sia contenuta in un piano, il moto si dice piano. Per caratterizzare il moto è necessario anche descrivere il modo in cui la traiettoria è percorsa durante il tempo: se s è la lunghezza del tratto di traiettoria percorso, interessa la sua dipendenza dal tempo, espressa dalla funzione s = s(t) (equazione del movimento sulla traiettoria o equazione oraria). Quando lo spazio percorso non cresce in modo costante nel tempo, occorre anche precisare la legge della sua variazione: si introduce così il concetto di velocità; quest'ultima è una grandezza vettoriale definita dalla relazione

essendo P = P(t) l'equazione del moto del punto P. Poiché anche la velocità può variare nel tempo, si introduce l'accelerazione

che serve a caratterizzare ulteriormente il moto. Tanto la velocità quanto l'accelerazione sono direttamente connesse a proprietà geometriche della traiettoria: la velocità è sempre un vettore tangente a quest'ultima, mentre l'accelerazione ha una componente tangenziale (che si annulla per tutti i moti uniformi, cioè con velocità di modulo costante, qualunque sia la forma della traiettoria descritta) e una componente lungo la normale principale (detta accelerazione centripeta), la cui grandezza è legata al raggio di curvatura della traiettoria. Le leggi P = P(t), v= v(t), a = a(t) caratterizzano i diversi tipi di moto: moto rettilineo, rettilineo uniforme, uniformemente accelerato, centrale, armonico, ecc. In particolare, la cinematica ha potuto studiare completamente il caso del moto dei gravi (moto naturalmente accelerato, con un'accelerazione costante, che è l'accelerazione di gravità) e i moti centrali, classe in cui rientrano i moti dei pianeti, le cui proprietà sono state definite dalle leggi di Keplero. Infatti, la descrizione delle caratteristiche della traiettoria non richiede l'intervento esplicito di alcuna ipotesi sulla natura della forza che determina il moto (il cui esame rientra piuttosto nella teoria della gravitazione, appartenente alla dinamica).

 Composizione di movimenti

Molto  spesso accade di dover considerare un mobile soggetto a più movimenti contemporaneamente (moti componenti); il moto risultante del mobile è in ogni istante determinato dalla composizione degli spostamenti che - fino a quello stesso istante - il mobile avrebbe subito per azione di ciascuno dei moti componenti. Tale proprietà (principio della composizione dei movimenti, determinato sperimentalmente da Galileo) ha una chiara rappresentazione grafica nella somma vettoriale degli spostamenti: nel caso ad esempio di due moti componenti, se s (t) e s (t) sono gli spostamenti che il punto P subirebbe nel tempo t a partire dalla posizione iniziale Po sotto l'azione dei due singoli moti, allora per effetto del moto risultante il suo spostamento è s(t) = s (t) + s (t). Inoltre nella cinematica classica la velocità del moto risultante è anch'essa la somma vettoriale delle velocità dei moti componenti.

 Cinematica dei sistemi rigidi

Un  sistema rigido è per definizione un insieme di punti materiali tale che la distanza tra due suoi punti qualunque, considerati macroscopicamente, si mantiene costante comunque si muova il sistema. I corpi solidi possono ritenersi rigidi in prima approssimazione, fino a che non si debba tenere conto delle deformazioni che essi subiscono se sollecitati da pressioni e trazioni. Per caratterizzare il moto di un sistema rigido occorre in genere individuare sia la posizione di un suo punto rispetto a un sistema fisso sia la posizione di ogni altro punto rispetto a quello: a questo scopo si assegna anche un sistema di riferimento (in genere, assi cartesiani ortogonali) che si muova solidalmente con il sistema, e rispetto al quale è individuata la posizione di ogni punto del sistema. Casi particolarmente interessanti dei moti dei sistemi rigidi sono il moto traslatorio (in cui il segmento che congiunge due punti qualunque si sposta mantenendosi parallelo a se stesso) e il moto rotatorio assiale, in cui rimangono fissi tutti i punti di una retta (asse di rotazione), mentre ogni altro punto descrive una traiettoria circolare in un piano normale all'asse. Anche per i sistemi rigidi si può estendere la composizione dei movimenti: nel moto composto, o risultante, ogni punto del sistema ha in ogni istante dell'intervallo di tempo considerato la velocità risultante dalla composizione vettoriale delle velocità che a esso competono - nello stesso istante - per ciascuno dei moti componenti. La cinematica dei sistemi ha permesso di stabilire che il più generale moto rigido può essere espresso in ogni istante come composizione di un moto traslatorio e un moto rotatorio attorno a un asse istantaneo di rototraslazione (moto istantaneo di rototraslazione, o atto di moto rototraslatorio).

In particolare interessano i moti rigidi piani: sono tali i moti rigidi in cui ogni punto descrive una traiettoria piana; si possono perciò studiare come moti di una figura piana (che può essere per esempio una sezione del corpo) su un piano assegnato. Anche per essi il caso più generale è una composizione di un moto rotatorio e uno traslatorio: esiste sempre un punto che è polo o centro istantaneo di rotazione (e corrisponde all'intersezione con il piano considerato dell'asse istantaneo di rotazione introdotto nel caso generale). Consideriamo particolarmente il caso di una pura rotazione istantanea (nella traslazione, tutte le traiettorie dei punti del sistema sono parallele); poiché il punto che è centro istantaneo di rotazione varia all'interno del sistema (cioè in tempi diversi punti diversi sono poli istantanei) e d'altra parte esso si sposta sul piano fisso, interessa considerare due traiettorie polari: il luogo delle posizioni assunte dal polo C sul piano fisso (curva polare fissa o base) e il luogo dei punti del piano del sistema mobile che in ogni istante sono centro di rotazione (curva polare mobile o rulletta). Una delle proprietà fondamentali del moto rigido piano si esprime dicendo che la rulletta rotola senza strisciare sulla base: le due curve sono tangenti in ogni istante di tempo. Tra i moti rigidi piani, interessano particolarmente i moti cicloidali, in cui entrambe le traiettorie polari sono circolari; la circonferenza mobile può essere o esterna alla circonferenza base, oppure interna: si hanno così rispettivamente i casi in cui la traiettoria descritta da ogni punto è un'epicicloide oppure un'ipocicloide. Se invece la curva base è una retta, la traiettoria descritta è una cicloide(caso di una ruota che rotoli sul terreno).

Infine, altro caso interessante è quello di un sistema rigido che abbia un punto fisso: in ogni istante il sistema ruota attorno a un asse di rotazione istantanea che è necessariamente una retta passante per il punto fisso. Il luogo delle posizioni occupate nello spazio fisso dall'asse di rotazione è detto cono polare fisso, o cono erpoloide, mentre il luogo delle rette del sistema mobile che divengono successivamente assi di rotazione è detto cono polare mobile, o cono della poloide. Questi due coni (coni di Poinsot) permettono di caratterizzare il moto di ogni sistema rigido avente un punto fisso come equivalente al rotolamento del cono mobile sul cono fisso. Per lo studio di questo tipo di moto sono utili parametri opportuni, per individuare le posizioni del sistema: si introducono a questo scopo gli angoli di Eulero

 Moto relativo

Accade  spesso di dover considerare il moto di un punto o di un sistema quale appare a un osservatore che sia esso stesso in moto: oltre al sistema di riferimento fisso (ad es. una terna di assi cartesiani Oxyz) introduciamo allora anche un sistema di riferimento mobile (ad es. la terna ). Un punto P è caratterizzato dalle coordinate x, y, z e , , nei due sistemi e le sue equazioni del moto sono quindi x = x(t), y = y(t), z = z(t) e = (t), = (t), = (t) rispettivamente nei due riferimenti. La velocità rispetto al sistema fisso (velocità assoluta) risulta va= vr + vtdove vr è la velocità rispetto al sistema mobile (velocità relativa) e vt la velocità di trascinamento, cioè quella che il punto P avrebbe se, essendo in quiete nel sistema mobile, si muovesse solidalmente con questo: coincide quindi con la velocità del sistema mobile rispetto a quello fisso. Tra le accelerazioni nei due sistemi vale la relazione espressa dal teorema di Coriolis: aa = ar + at + ac, dove aa e ar sono le accelerazioni rispetto al sistema fisso (accelerazione assoluta) e a quello in moto (accelerazione relativa); at(accelerazione di trascinamento) è l'accelerazione che il punto avrebbe se fosse rigidamente solidale con il sistema mobile e venisse trascinato da questo nel suo moto (non è quindi altro che l'accelerazione assoluta del riferimento mobile). Infine ac è l'accelerazione complementare o di Coriolis, nulla in particolare quando il punto è in quiete rispetto al sistema mobile (vr = 0) o quando il moto del riferimento mobile è di pura traslazione. In modo analogo al caso del moto relativo di un solo punto, si può descrivere anche quello di un insieme di punti e in particolare di un sistema rigido: il moto assoluto di esso si ottiene componendo, in ogni istante, il suo moto relativo con quello di trascinamento. È importante infine osservare che se il riferimento mobile si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a quello fisso ed è quindi costante la velocità di trascinamento vt risulta allora at = 0 e ac il teorema di Coriolis si riduce perciò semplicemente alla relazione aa = ar l'accelerazione di un punto è cioè la stessa rispetto a osservatori in moto di traslazione con velocità uniforme l'uno rispetto all'altro (principio di relatività galileiana). Nella cinematica classica questa proprietà si deduce sotto l'ipotesi che il tempo sia un parametro universale, comune a tutti i sistemi di riferimento.

Accelerazione

Considerato  un punto materiale che si muove di moto rettilineo uniformemente vario, nel quale cioè la velocità si modifica per una stessa quantità in tempi uguali, l'accelerazione è la variazione subita dalla velocità nell'unità di tempo. Sia v la velocità all'istante t , v la velocità all'istante t, indicando con a l'accelerazione, si ha:

a = vv /tt

Secondo che a sia positiva o negativa, il moto si dice uniformemente accelerato o uniformemente ritardato. Se il punto materiale si muove con moto rettilineo arbitrario - indicando con v la variazione subita dalla velocità nell'intervallo di tempo t a partire dall'istante t - il rapporto v/t rappresenterà l'accelerazione media nell'intervallo di tempo t: se t tende a zero, v/t tende a dv/dt che si assumerà come accelerazione del mobile all'istante t. In un moto rettilineo, quindi, l'accelerazione si definisce come la derivata della velocità rispetto al tempo, ed essendo v = dx/dt risulta:

at = d x/dt² .

Nel caso più generale, l'accelerazione sarà data da una quantità vettoriale le cui componenti lungo gli assi di un riferimento cartesiano ortogonale valgono:

d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt².

Se un corpo si muove di moto relativo, la sua velocità assoluta è la somma geometrica, o risultante, della velocità relativa e della velocità di trascinamento; questa regola non vale per l'accelerazione assoluta, che risulta invece dalla somma geometrica di tre accelerazioni: 1. l'accelerazione nel movimento relativo; 2. l'accelerazione nel moto di trascinamento; 3. l'accelerazione complementare detta anche accelerazione centrifuga composta o di Coriolis. Questa terza accelerazione è quella che, nel moto di caduta dei gravi sulla terra, giustifica la lieve loro deviazione verso oriente dovuta alla rotazione terrestre. L'unità di accelerazione nel sistema MKSA e nel SI (sistema internazionale di unità di misura) è il metro al secondo per secondo (m/s²), nel sistema CGS è il centimetro al secondo per secondo (cm/s²); quest'ultima prende il nome di gal, ed è cento volte più piccola della prima.