Le geometrie non euclidee

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Intorno al 300 a.C. Euclide , redigendo gli ' Elementi ' , fornisce le prime basi dello sviluppo di quella che sarà la matematica del mondo occidentale . Euclide presenta 23 definizioni , 5 postulati e alcuni assiomi ; successivamente passa , in base a quanto precedentemente stabilito , a dimostrare delle proposizioni geometriche . Le definizioni intendono esplicitare i concetti della geometria ; i postulati rappresentano verità indubitabili tipiche del sapere geometrico , ; gli assiomi sono , per Euclide , verità che valgono universalmente , non solo in geometria . Definiti i concetti e fissati postulati e assiomi , da essi Euclide deduce quei teoremi che costituiscono il sapere geometrico. Questo sistema , con il quale Euclide ordina le conoscenze geometriche , è appunto chiamato GEOMETRIA EUCLIDEA . Questo modello è rimasto valido per secoli e secoli come mezzo insuperabile di sapere deduttivo: la terminologia è inserita dopo essere stata correttamente definita , i teoremi vengono inseriti dopo essere stati correttamente dimostrati . Certamente  nella dimostrazione dei teoremi non si può risalire all' infinito, perciò ad un determinato momento bisogna fermarsi e basare la catena di deduzioni su precise proposizioni prime . Euclide sceglie questi enunciati primitivi in modo che nessuno , riguardo alla loro veridicità , possa avanzare obiezioni ; ed essendo i teoremi dimostrati da queste proposizioni prime , vere di per sé , anch' essi appaiono indiscutibilmente veri . Senonché il concetto di evidenza è lungi dall' essere evidente , e a trasformare la concezione euclidea degli assiomi concorrono in maniera rilevante discussioni nate proprio in seno alla geometria euclidea . Infatti , fin dall' antichità , il V postulato di Euclide non convince . Esso è il famoso postulato delle rette parallele ed è così formulato : ' Se una retta , incontrando altre due rette , produce altri due angoli interni giacenti dalla stessa parte , minori di due angoli retti , quelle rette , prolungate all' infinito , si incontrano dalla stessa parte in cui stanno gli angoli minori di due retti '

Il V postulato può essere formulato in diversi modi , ma sostanzialmente afferma che da un punto passa una ed una sola retta parallela ad una retta data ; Euclide tenta di dimostrare il maggiore numero di teoremi senza utilizzare questo postulato , ed arriva a una quantità considerevole di dimostrazioni , tutte poste in un quadro coerente ed organico . Il problema risiede nell' incertezza riguardante la possibilità di considerare il quinto postulato non più una affermazione da accettare spontaneamente , ma un teorema che deriva direttamente dalle semplici proposizioni ritenute da Euclide stesso indimostrabili . Euclide arriva a dire che la proprietà dell' unicità della parallela non può essere dimostrata poiché la sua veridicità non dipende assolutamente da quella di assiomi e postulati e per questo deve essere considerata come un postulato . I primi teoremi che derivano direttamente dall' accettazione di questa proprietà affermano che due rette di un piano , una delle quali sia perpendicolare ed una obliqua rispetto ad una retta data , necessariamente si incontrano , e che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto .

La geometria euclidea è stata per molti secoli l' unica possibile , poiché fornisce una spiegazione dei rapporti tra gli enti in perfetto accordo con l' evidenza delle leggi della natura . Uno degli studiosi che apre una prospettiva nuova allo studio della geometria è Giovanni Saccheri , professore di matematica all' università di Pavia e audace studioso di logica del XVIII . Egli fornisce un nuovo approccio al problema, introducendo un nuovo ragionamento : esso consiste nell' affermare che date una linea L e un punto P ,  allora può accadere che non vi siano parallele passanti per quel punto , oppure che ce ne siano almeno due . Se il V postulato di Euclide viene sostituito da uno di questi due casi , allora la sua validità è affermata solo nel caso in cui si arrivi a formulare proposizioni in aperto contrasto con gli altri fondamentali postulati. Ipotizzando l' assenza di parallele ad una retta passanti per un determinato punto, Saccheri deduce teoremi che si contraddicono l' un l' altro ; egli però non riesce a dedurre contraddizioni dall' uso dei postulati euclidei e dall' assioma alternativo postulante l' esistenza di almeno due rette parallele . In realtà Saccheri è così impreparato agli strani teoremi che ha dedotto dallo studio del suo insieme di postulati, che stabilisce che il quinto postulato di Euclide deve essere necessariamente vero . Conformemente a queste opinioni , nel 1733 pubblica i suoi risultati in un libro 'Euclides ab omni naevo vindicatus' ( Euclide preservato da ogni macchia ) , in cui dimostra di non avere saputo ricavare un ragno dal buco . Nonostante i suoi insuccessi Saccheri apre una nuova strada alla geometria , che d' ora in poi applicherà una rinnovata energia nella formulazione di nuove scoperte nel campo della matematica .

Il matematico Gauss ( 1777 - 1855 ) è tra i primi a intravedere una corretta interpretazione degli sforzi di Saccheri . Egli fin da giovane è attratto dal postulato delle parallele ; dapprima si impegna nel tentativo di sostituirlo con un assioma più semplice , senza però riuscirvi . Segue poi la linea di pensiero di Saccheri , adottando un postulato delle parallele che contraddice quello euclideo , e deducendone nuove conseguenze , se associato agli altri postulati . Come Saccheri , egli formula strani teoremi , ma al contrario del professore pavese non si lascia scoraggiare, introducendo una conclusione radicalmente nuova , che mai prima di lui era stata considerata : possono esistere altre geometrie , altrettanto valide di quella euclidea. Ciò mette in crisi il sistema di idee e il quadro filosofico dell' epoca , secondo i quali lo spazio euclideo non è soltanto la descrizione del mondo delle idee o del mondo ricavato dall' esperienza , ma addirittura , nella concezione della più grande autorità filosofica del '700 , Immanuel Kant , qualcosa di connaturato con la ragione umana . Contemporaneamente a Gauss , che è il primo ad ipotizzare la validità dell' esistenza di una geometria non euclidea , un altro uomo giunge alla stessa conclusione , trovando però il coraggio di dare un esempio di geometria non euclidea: il matematico russo Nicolaj Ivanovic Lobacevskij ( 1793 - 1856 ) .

Egli , partendo dall' idea che lo spazio fisico possa avere proprietà diverse da quelle pensate da Euclide , effettua una ricostruzione della geometria sulla base di numerosi principi , assumendo come ' enti primitivi ' non più gli enti ideali ( punto e retta ) , ma oggetti geometrici ( quali i corpi solidi ) più vicini all' esperienza sensibile . A partire da tali diverse premesse , Lobacevskij nega il principio che la parallela per un punto ad una retta sia unica . Se infatti si imposta il discorso da un punto di vista rigoroso e non ci si lascia guidare dalle consuetudini , che legittimano scelte in fondo arbitrarie , si può osservare che la parallela ad una retta , nel senso di Euclide , si ottiene in due modi diversi : data una retta per un punto P che intersechi r in un punto Q , si può allontanare il punto dei intersezione verso l' infinito da una parte ( verso destra ) o dall' altra ( verso sinistra ) . Seguendo il ragionamento di Lobacevskij , che cosa impedisce di pensare che tra la posizione della parallela 'destra' td e quella della parallela 'sinistra' ts non vi siano altre rette che intersecano r ? Date le piccole distanze che siamo in grado di misurare ( piccole in confronto alle distanze cosmiche ) , non siamo infatti di apprezzare le differenze di ampiezza tra i diversi angoli che tali eventuali rette formerebbero con la retta t . Pertanto nessuna nostra misurazione potrebbe confermare o confutare tale diversa ipotesi . Lobacevskij non si limita a discutere astrattamente la possibilità di costruire una geometria in cui una retta abbia più di una parallela per un punto esterno ad essa , ma realmente deduce una serie di teoremi da tali nuovi assiomi e costruisce una vera e propria teoria geometrica , alternativa a quella di Euclide , logicamente coerente e priva di contraddizioni interne . Questa geometria dimostra che la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto : essa è uguale a - k , dove k , detto difetto , è un numero non negativo che dipende dalle dimensioni dei lati del triangolo . Quanto più un triangolo è grande, tanto maggiore è la differenza da un normale triangolo euclideo , in cui la somma degli angoli interni è uguale a un angolo piatto . Inoltre , due figure non possono più essere simili , ma non congruenti : due triangoli simili devono essere anche congruenti. Per Lobacevskij , la sua geometria non contraddice la geometria euclidea , ma ne costituisce una generalizzazione : infatti rispetto alle grandezze piuttosto piccole che in genere misuriamo , il difetto k è talmente piccolo da diventare trascurabile , e diventa così corretta , per la classe di problemi che usualmente trattiamo , l' ipotesi euclidea .

Nel 1854 Bernhard Riemann ( 1826 - 1866 ) discute all' università di Gottingen la sua tesi per la libera docenza ' Sulle ipotesi che stanno alla base delle geometria ' , in cui, insieme ad una generalizzazione molto spinta dei contenuti della geometria , dà lo spunto per un modello piuttosto semplice di geometria nel quale non vale il postulato delle parallele , in un senso ancora più forte di quello per cui non vale nella geometria di Lobacevskij . Il postulato di Euclide stabilisce l' esistenza e l' unicità della parallela ad una retta per un punto esterno . Nel sistema di Lobacevskij cade l' unicità : per un punto esterno ad una retta data passano più rette parallele . Riemann considera invece un sistema in cui cade anche l' esistenza : ogni retta condotta da un punto esterno interseca la retta data in un punto . Questa nuova negazione del quinto postulato di Euclide porta a una nuova geometria : in essa la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto , due punti determinano più di una retta , tutte le perpendicolari ad una retta si incontrano in un punto , due rette delimitano sempre un' area , e come nella geometria di Lobacevskij , due figure simili devono essere congruenti .

Una sistemazione definitiva dell' argomento viene fornita da Felix Klein ( 1849 - 1925 ), che propone un altro modello per la geometria di Lobacevskij classifica le geometrie in tre classi fondamentali :

- Geometria euclidea : è la geometria delle superfici a curvatura nulla , vale il postulato dell' esistenza e dell' unicità della parallela ed in essa la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto ;

- Geometria ellittica ( o sferica ) : è la geometria delle superfici a curvatura positiva

(Riemann) , non esistono rette parallele ed in essa la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto ;

- Geometria iperbolica : è la geometria delle superfici a curvatura negativa, (Lobacevskij) , per un punto esterno passano infinite rette parallele ed in essa la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto . 

Si apre così la possibilità di costruire diversi sistemi assiomatici per descrivere lo spazio, tutti logicamente coerenti , e non essendoci più una unica geometria , la fondatezza di una geometria non va più cercata nella sua capacità di descrivere la realtà fisica , quanto piuttosto nella sua coerenza logica interna ( per esempio nella non contraddittorietà dei suoi assiomi interni e nella loro indipendenza ) .