INDICI DI POSIZIONE O MEDIE

Questa famiglia di indici serve ad individuare quella modalità o valore del carattere che è RAPPRESENTATIVO del fenomeno allo studio cioè lo sintetizza.

A)  MEDIA ARITMETICA

data la variabile statistica discreta con distribuzione di frequenze

Modalità Frequenze

X₁ n₁

X₂ n₂

. .

. .

x_i n_i

. .

. .

x_k n_k

Totale N

Essa è data da quel valore μ (mi) che lascia invariato l'ammontare totale del fenomeno, cioè

x₁n₁+x₂n₂+..+x_in_i+..+x_nn_k=μN

_k

∑x_in_i = μN cioè μ = Σx_in_i Media aritmetica ponderata

ⁱ⁼¹  N

Data la serie di valori o la variabile statistica con frequenza unitaria il valore μ da cercare è sempre quello per cui:

x₁+x₂+.+x_i+.+x_k=

_k

x_in_i=k da cui μ= Σx_i Media aritmetica semplice

ⁱ⁼¹ k

• Nel caso di distribuzione per classi si calcola il valore centrale di ogni classe c_i

C_i= estremo superiore+estremo inferiore

Classi Frequenze valore centrale

x₁-x₂ n₁ c₁=x₁+x₂

2

x₂-x₃ n₂ c₂=x₂+x₃

2

. . .

. . .

x_i-x_i+1 n_i c_i

. . .

. . .

x_k-x_k+1 n_k c_k

totale

N

In tal caso la media aritmetica si calcola ponderando i valori centrali con le frequenze, cioè

_k

μ = Σc_in_i / N

ⁱ⁼¹

Proprietà della media aritmetica:

μ è sempre compresa tra il valore più piccolo e quello più grande tra le modalità osservate, cioè

x₁<μ<x_k

2)la somma degli SCARTI DALLA MEDIA ARITMETICA è sempre nulla.

Definiamo SCARTO la differenza tra le modalità x_i e la media μ nel caso di variabile discreta , tra i valori centrali c_i e μ nel caso di distribuzione in classi.

Si calcolano tutti gli scarti

x₁-μ, x₂-μ,...,x_k-

oppure

c₁- ,c₂-μ,...,c_k-

la proprietà ci dice che

(x₁-μ)n₁+(x₂- )n₂+.+(x_k-μ)n_k=0

cioè scarti positivi e scarti negativi si compensano.

Dimostrazione

_{k k k}

Σ(x_i-μ)n_i= x_in_i- n_i portiamo la μ fuori sommatoria

^{i=1 i=1 i=1}

_{k k k k}

=Σx_in_i-μΣn_i poiché Σn_i=N si ha Σx_in_i-μN= esplicitiamo μ

^{i=1 i=1 i=1 i=1}

=Σx_in_i- Σx_in_i N=0 C.V.D.

ⁱ⁼¹ N

3)la media aritmetica è l'unico valore che minimizza la somma dei quadrati degli scarti, cioè preso un qualsiasi altro valore c si può dimostrare che:

_{k k}

(x_i- )²n_i ≤Σ(x_i-c)²n_i

^{i=1 i=1}

dimostriamo considerando la somma dei quadrati degli scarti dalla costante c

_k

Σ(x_i-c)²n_i aggiungiamo e sottraiamo μ

ⁱ⁼¹

_k

(x_i- -c)²n_i sviluppiamo il quadrato del binomio

ⁱ⁼¹

^{a b}

_k

[(x_i- -c)²+2( -c)(x_i- )]n_i

ⁱ⁼¹

moltiplichiamo tutti i termini in parentesi per n_i, scindiamo la sommatoria e portiamo fuori di essa i valori costanti

_{k k k}

(x_i- )²n_i+(μ-c)²Σn_i+2(μ-c)Σ(x_i- )n_i

^{i=1 i=1 i=1}

^{=0 per la 1°proprietà}

in definitiva

_k

(x_i-c)²n_i= (x_i- )²n_i+(μ-c)²N

ⁱ⁼¹

quindi la somma dei quadrati degli scarti da una costante c è uguale alla somma dei quadrati degli scarti dalla media più la quantità (μ-c)²N che è certamente positiva.

_{k k}

Conclusione► (x_i-c)²n_i> (x_i- )²n_i C.V.D.

^{i=1 i=1}

4)Proprietà traslativa

Se le modalità x_i sono tutte accresciute di una quantità costante a, anche la media aritmetica sarà accresciuta della quantità a:

_{k k k k k}

Σ(x_i+a)n_i = x_in_i+a n_i = x_in_i +a n_i = +a

^{i=1 i i i i}

N N N N

5)La media aritmetica delle modalità x_i moltiplicate per una costante a è uguale alla media aritmetica delle x_i moltiplicata per a, cioè:

_{k k}

(x_ia)n_i = a Σx_in_i = a μ

^{i i}

N N

B)  MEDIA GEOMETRICA

• Se la variabile statistica è discreta

N n₁ n₂ n_k N k n_i

M_g = x_1. x_2. ..x_k = x_i     

ⁱ⁼¹

• Se la variabile statistica è divisa in classi

N N

n₁ n₂ n_{k k} n_i

M_g = c₁.c₂....c_k = c_i

ⁱ⁼¹

per rendere più agevole il calcolo si usa la seguente trasformazione:

n₁ n₂ n_k 1

M_g= x₁.x₂..x_k ^N

LEGGERE APPENDICE 1

Passando ambo i membri a logaritmo

n₁ n₂ n_k 1

Log M_g = log x₁.x₂.x_k ^N

n₁ n₂ n_k

Log M_g = log x₁ + log x₂ ++ log x_k

N

Log M_g =n₁logx₁+n₂logx₂+...+n_klogx_k

N

Da cui calcolato il secondo membro dell'espressione posto pari a k il risultato si ha

M_g= 10^k

PROPRIETA' DELLA MEDIA GEOMETRICA:

1)il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi delle x_i;

2)è quel valore che sostituito alle modalità x_i del prodotto ne lascia immutato il valore, cioè possiamo scrivere

n₁ n₂ n_k

M_g^N = x₁ . x₂ . .. x_k

3)la media geometrica è sempre minore della media aritmetica

M_g ≤μ

C)  MEDIA ARMONICA

• se la variabile statistica è discreta

M_a = N

n₁ + n₂ +...+ n_k

x₁ x₂ x_k

• se la variabile statistica è divisa in classi

M_a =      N

c₁ + c₂ +...+ c_k

n₁ n₂ n_k

cioè essa è il reciproco della media aritmetica dei reciproci delle modalità.

D)  MEDIA QUADRATICA

È la media aritmetica dei quadrati delle x_i

• se la variabile statistica è discreta

M_q=Σ x_i²n_i

N

• se la variabile statistica è in classi

M_q=Σc_i²n_i

N

E)   MODA

È quel carattere che presenta la frequenza più alta, nel caso di variabile statistica discreta basterà guardare nella tabella individuando la modalità a cui corrisponde la frequenza più alta.

Nel caso di variabile divisa in classi occorre distinguere due casi:

se le classi sono di ampiezza uguale si individua la frequenza più alta e con essa la CLASSE MODALE, successivamente si procede cercando all'interno della classe modale il preciso valore della moda utilizzando la relazione seguente:

M₀ = l₁ + Δ₁ . a

Δ₁ + Δ₂

Dove

l₁→ estremo inferiore della classe modale

Δ₁→frequenza della classe modale meno frequenza della classe precedente

Δ₂→frequenza della classe modale meno frequenza della classe successiva

a→ampiezza della classe modale

ESEMPIO: calcolare la moda della seguente variabile statistica

Classi frequenze

osservando le frequenze la CLASSE MODALE è 5-8, poiché le classi non sono contigue come estremo inferiore l₁ si prende 5-0,5=4,5

a=8,5-4,5=4

sostituendo si ha M₀=4,5+   13 . 4 ~ 6,86

13+9

2)se le classi sono di ampiezza diversa si calcola per ognuna la densità di frequenza d_i=n_i/a_i (frequenza fratto ampiezza), la CLASSE MODALE è quella con la densità più alta, si procede come nel caso precedente considerando le densità al posto delle frequenze.

ESEMPIO: CALCOLARE LA MODA

Classi frequenze densità

18 18/4=4,5

15 15/3=5

12 12/3=4

la classe modale è 5-7 perché presenta la densità più alta per cui applicando la formula

M₀=4,5 +   5 - 4,5 . 3 ~ 5,4

(5-4,5)+(5-4)

la Moda può non essere unica

*quando è unica diremo che la distribuzione è UNIMODALE

*quando ve ne sono diverse diremo che la distribuzione è PLURIMODALE cioè BIMODALE (se ci sono 2 mode), TRIMODALE (se ce ne sono 3), etc.

F)   MEDIANA

È quel valore che bipartisce la distribuzione

*se la variabile statistica è discreta

si calcola il valore N/2►se il numero di modalità è pari

N+1/2►se è dispari

si calcolano le frequenze cumulate fino al primo valore

F_i ≥ N/2 o N+1/2

la corrispondente modalità è la Mediana.

ESEMPIO: si calcoli la mediana della seguente distribuzione

X_i n_i

3 15

5 30

6 18

8 40

11 22

totale 125

poiché le x_i sono in numero dispari essendo N=125 calcoliamo la quantità N+1/2=125+1/2=126/2=63

cumuliamo le frequenze fino al primo valore ≥ 63:

F₁=15, F₂=15+30=45, F₃=15+30+18=63

mi fermo perchè F₃≥63 e individuo la mediana nella modalità corrispondente cioè M_e=6

*se la variabile statistica è in classi con il precedente procedimento si individua la CLASSE MEDIANA, per individuare all'interno di essa con precisione la M_e si utilizza la relazione

M_e= l_e +   a_e ( N/2 - F_e-1 )

n_e

dove:

l_e►estremo inferiore della classe mediana

a_e►ampiezza della classe mediana

n_e►frequenza assoluta della classe mediana

F_e-1►frequenza cumulata della classe precedente

G)  QUARTILI

Distinguiamo tra:

PRIMO QUARTILE Q₁ ►è quel valore che lascia al di sopra di esso gli N/4 della distribuzione e al di sotto gli N.3/4, in altre parole bipartisce la prima metà della distribuzione.

Il metodo di calcolo è lo stesso di quello applicato per la Mediana soltanto che si deve fare riferimento alla quantità N/4.

TERZO QUARTILE Q₃ ►lascia al di sopra di esso i N3/4 della distribuzione e al di sotto gli N/4, an altre parole bipartisce la seconda metà della distribuzione.

Stesso metodo di calcolo con riferimento alla quantità

N3/4.

In relazione al concetto di quartile la MEDIANA è anche definita SECONDO QUARTILE Q₂ perché bipartisce la metà centrale della distribuzione.

RAPPORTI STATISTICI

Si tratta di rapporti che mettono a confronto le frequenze o intensità dello stesso fenomeno in tempi e luoghi diversi.

Data una distribuzione statistica, tutte le frequenze o le intensità si rapportano con un termine comune che si definisce BASE.

Distinguiamo tra:

a)RAPPORTI A BASE FISSA ►quando la base al denominatore è sempre la stessa cioè costante. È il caso delle frequenze relative che si ottengono dividendo le frequenze assolute sempre per la stessa base N.

b)RAPPORTI A BASE VARIABILE O MOBILE►quando la base al denominatore varia da rapporto a rapporto.

Consideriamo come esempio una mutabile ciclica in cui le modalità sono espresse dagli anni di calendario e il fenomeno allo studio è ad esempio il tasso medio di inflazione π nei diversi anni, procediamo al calcolo dei due tipi di rapporti:

TEMPI INTENSITA' INDICI A BASE INDICI A BASE

FISSA VARIABILE

1990 π₀ π₀/π₀.100 ____

1991 π₁ π₁/π₀.100 π₁/π₀.100

1992 π₂ π₂/π₀.100 π₂/π₁.100

1993 π₃ π₃/π₀.100 π₃/π₂.100

1994 π₄ π₄/π₀.100 π₄/π₃.100

1995 π₅ . .

1996 π₆ . .

1997 π₇ . .

1998 π₈ . .

1999 π₉ . .

2000 π₁₀ π₁₀/π₀.100 π₁₀/π₉.100

Nel caso dei rapporti a base fissa si evidenziano le variazioni relative avvenute rispetto alla prima modalità, nell'esempio le variazioni del tasso di inflazione rispetto all'anno di riferimento 1990.

Nel caso dei rapporti a base variabile si evidenziano variazioni di periodo in periodo nel caso in esame di anno in anno.

I rapporti statistici si distinguono in SEMPLICI e COMPLESSI.

Si conoscono diversi tipi di rapporti statistici SEMPLICI:

a)Rapporti di composizione o di parte del tutto

dati dal rapporto tra frequenza di una parte del fenomeno e ammontare totale del fenomeno.

Ad esempio: numero di occupati maschi per l'anno 78=14043, totale forza lavoro maschile del 78=14734, il seguente rapporto

14734

ci dice che nel 1978 la forza lavoro maschile era composta per il 95,3% da occupati e per il restante 4,7% da disoccupati.

b)Rapporti di derivazione

sono rapporti tra frequenza di un fenomeno e frequenza di un altro fenomeno che ne è il presupposto necessario. Esempi tipici sono: quozienti di natalità, di mortalità,.il cui presupposto è la popolazione.

c)Rapporti di durata

si usano per fenomeni collettivi che si rinnovano nel tempo con immissioni e/o detrazioni di unità statistiche, tipici esempi sono: abitanti di una nazione o di una città, depositi bancari, merce in magazzino.

Per questo tipo di fenomeni talvolta è utile calcolare la DURATA MEDIA DI PERMANENZA:

indicando con

C=consistenza media del fenomeno

U=elementi che escono

E= elementi che entrano

Il rapporto è dato da

D = C

U+E/2

Ad esempio: le quantità di caffè giacenti nei magazzini generali all'inizio e alla fine del 1977 sono state 85977 e 118498, le quantità entrate 581939 e quelle uscite 549418

D = 85977+118498 = 0,1807 anni

581939+549418

si procede così: 0,1807.365=66 giorni, cioè una partita di caffè resta in giacenza in magazzino per 66 giorni.

Analizziamo adesso i rapporti statistici complessi o NUMERI INDICI COMPLESSI.

Consideriamo il seguente problema : date s merci di un certo settore produttivo, si vogliono valutare le variazioni dei loro prezzi nel tempo.

Si costruisce una tabella di questo tipo:

righe→ tempo in anni

colonne→merci considerate

MERCI

TEMPI 1 2 ....i .........s

1990(0) p_1,0 p_2,0 .... p_i,0 .........p_s,0

1991(1) p_1,1 p_2,1 .... p_i,1 ... p_s,1

1992(2) p_1,2 p_2,2 ... P_i,2 ..... p_s,2

. . . .. . .... .

. . . . .

(i) p_1,i p_2,i ... p_i,i .. P_s,i

. . . . .

. . . . .

(t) p_1,t p_2,t . p_i,t . p_s,t

per studiare le variazioni dei prezzi per l'intero settore economico si procede alla TOTALIZZAZIONE degli indici semplici, i procedimenti usati sono:

a)TOTALIZZAZIONE MEDIANTE IL RAPPORTO TRA MEDIE

per ogni anno si calcola la media aritmetica dei prezzi, cioè

anno 0 → p_1,0+p_2,0+.+p_i,0+.+p_s,0

s

anno 1 → p_1,1+p_2,1+.+p_i,1+.+p_s,1

s

anno t → p_1,t+p_2,t+.+p_i,t+.+p_s,t

s

successivamente si calcolano i numeri indici a base fissa o a base variabile costruendo i rapporti tra i prezzi medi nei periodi che si vogliono prendere in considerazione.

b)TOTALIZZAZIONE MEDIANTE LA MEDIA DEI RAPPORTI

si calcolano i rapporti semplici con base fissa in modo da ottenere per ogni anno tanti rapporti quante sono le merci

anno 1→ p_1,1/p_1,0 p_2,1/p_2,0 . p_i,1/p_i,0 . p_s,1/p_s,0

anno t → p_1,t/p_1,0 p_2,t/p_2,0 . p_i,t/p_i,0 . p_s,t/p_s,0

per ogni anno si calcola la media dei rapporti

ANNO 1

P_1,1/p_1,0+p_2,1/p_1,0+.+p_i,1/p_i,0+.+p_s,1/p_s,0 = INDICE DEI PREZZI

S AL TEMPO 1

ANNO t

P_1,t/p_1,0+p_2,t/p_2,0+..+p_i,t/p_i,0+.+p_s,t/p_s,0 = INDICE DEI PREZZI

S AL TEMPO t

I più noti indici dei prezzi sono:

INDICE DI LASPEYRES

Mette in relazione prezzi e quantità scambiate nel tempo mantenendo fissa la quantità scambiata al tempo base 0 cioè la quantità delle merci per i=1,2,.s data da q_i,0

_s

∑ p_i,t q_i,0

I_L = ⁱ⁼¹ = p_1,tq_1,0+p_2,tq_2,0+p_3,tq_3,0+..+p_s,tq_s,0

_s p_1,0q_1,0+p_2,0q_2,0+p_3,0q_3,0+.+p_s,0q_s,0

∑ p_i,0 q_i,0

ⁱ⁼¹

= valore monetario della produzione al tempo t

valore monetario della produzione al tempo 0

INDICE DI PAASCHE

Mantiene fissa la q_i,t cioè le quantità scambiate al tempo finale t

_s

∑ p_i,t q_i,t

I_P = ⁱ⁼¹ = p_1,tq_1,t+p_2,tq_2,t+p_3,tq_3,t+..+p_s,tq_s,t

_s p_1,0q_1,t+p_2,0q_2,t+p_3,0q_3,t+.+p_s,0q_s,t

∑ p_i,0 q_i,t

ⁱ⁼¹

INDICE DI FISHER

Si definisce anche Formula ideale ed è dato da

I_F =      I_L . I_P

Esercizio: si costruisca la successione di numeri indici in base fissa 1970 e la successione di numeri indici a base mobile della seguente tabella

ANNI PIL