UNA
VISUALIZZAZIONE della nuova geometria
L'argomentazione che è stata ora
presentata per la nuova interpretazione fisica della geometria euclidea si
applica anche alla geometria non euclidea. E se è possibile trarre vantaggio
dalla possibilità di scegliere l'interpretazione fisica della linea e di altre
figure, è possibile ottenere un'interpretazione intuitivamente accettabile
della nuova geometria. La figura 4 illustra una superficie nota come pseudosfera.
Le curve che sulla pseudosfera sono i percorsi più brevi fra punti sulla
superficie (anche queste curve vengono chiamate "geodetiche") hanno le
proprietà che le linee rette posseggono nei postulati di Lobacevskij e Bolyai.
Ad esempio il postulato che afferma che due punti determinano una e una sola
linea retta si applica anche a queste geodetiche. Due punti sulla pseudosfera
(C e D nella fig. 4) determinano una e una sola geodetica, o percorso minimo,
fra di essi. Similmente il postulato delle parallele di Lobacevskij e Bolyai,
il quale dice che per un punto P non giacente su una linea L passa
un numero infinito di linee che non incontrano L, si applica anche alle
geodetiche sulla pseudosfera.
Fig. 4.
Interpretazione visiva della geometria non euclidea di Lobacevskij e di Bolyai.
Poiché i postulati di Lobacevskij e di
Bolyai si adattano alle geodetiche sulla pseudosfera, ad esse devono applicarsi
anche i teoremi, in quanto conseguenze logiche dei postulati. Così il teorema
secondo cui la somma degli angoli di un triangolo è meno di 180s vale anche per
il triangolo CDE formato dagli archi di geodetica. Abbiamo perciò ottenuto una
visualizzazione della geometria non euclidea al costo di un mutamento minimo e
giustificabile nell'immagine della linea retta.
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