Teorema sul limite delle funzioni composte

TEOREMA SUL LIMITE DELLE FUNZIONI COMPOSTE

E' molto importante per le applicazioni il seguente risultato

Teorema (sul limite delle funzioni composte)

Siano f(x) una funzione definita in X e a valori in Y e g(y) una funzione definita in Y. Consideriamo la funzione composta mediante tali funzioni che risulta definita in X.

Vale la seguente implicazione

Dim.

Sia una qualsiasi successione di punti di X approssimante . Per l'ipotesi 1) e il teorema ponte (implicazione a destra) risulta

            e

Congruentemente, posto si ha

         e

E la successione è dunque una successione di punti di Y approssimante .

Per l'ipotesi 2) e il teorema ponte (implicazione a destra) risulta ancora

Raccogliendo abbiamo provato , sfruttando le ipotesi 1) e 2) e il teorema ponte due volte, che

Per ogni successione di punti di X approssimanti .

Per il teorema ponte (implicazione a sinistra stavolta) si conclude che

E cioè la tesi.

Osservazione (notevole)

Si noti che il teorema sul limite delle funzioni composte esprime che, se le ipotesi a sinistra dell'implicazione sono valide, risulta:

Tale uguaglianza, dal punto di vista pratico, mostra che per calcolare il limite per della funzione composta basta porre nel simbolo y in luogo di f(x) e sostituire con .

Quando si effettuano tali operazioni si dice che il limite si calcola con la sostituzione . (v. esempio a pag. 23)

Osservazione 2

Dal teorema sul limite delle funzioni composte si trae in particolare:

Ovvero, la funzione composta mediante funzioni continue, è a sua volta continua.