Significato geometrico della derivata

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I. Considerato il diagramma di tale funzione, fissiamo su di esso il punto e indichiamo con s la retta secante passante per ed un qualsiasi punto del diagramma. Indicata con y=mx+n l'equazione di una generica retta(non verticale), imponendo le condizioni di passaggio di tale retta per i punti P e , si ha:

da cui sottraendo membro a membro ed utilizzando poi la seconda di queste uguaglianze

;

Sostituendo in y=mx+n si ha infine

e cioè la secante s è la retta per avente per coefficiente angolare che è il rapporto incrementale di f relativo ad

Ciò posto si ha la seguente

Definizione

Si dice che il diagramma di f ha in retta tangente quando il coefficiente angolare della secante s è convergente in e cioè quando la funzione f è derivabile in.In tale ipotesi la retta e cioè la retta passante per ed avente per coefficiente angolare la derivata di f in si chiama retta tangente al diagramma di f nel punto .

Osservazione 1

Da questa definizione si deduce il significato geometrico della derivata. La derivata di una funzione f nel punto rappresenta il coefficiente angolare della tangente al diagramma nel punto .

Osservazione 2(grafico pag. 14)

Se dichiariamo con la misura in radianti formato dalla secante s con l'asse x risulta e cioè che il coefficiente angolare della secante s è uguale alla tangente trigonometrica dell'angolo.

E' evidente allora che.

Queste condizioni giustificano la seguente

Definizione

Si dice che il diagramma di f ha nel puntotangente verticale quando f ha in derivata infinita. In tale ipotesi la retta verticale di espressione x= si chiama la tangente del diagramma di f nel punto .

(da pagina 15 a pagina 18 si possono trovare esempi, esercizi ed un elenco di derivate notevoli)