Teorema di derivazione delle funzioni composte

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE

Consideriamo la funzione g(f(x)) con composta mediante le funzioni f(x) (componente interna) e g(y) (componente esterna);Vale la seguente implicazione

Dim.

Supporremo, per semplificare la dimostrazione, che esista un intorno di nel quale risulti .Inoltre utilizzeremo il teorema sul limite delle funzioni composte effettuando la sostituzione y=f(x);

Ciò premesso si ha:

e ponendo l limite per :

=

==

Osservazione

si noti che la regola di derivazione

significa che la derivata della funzione composta g(f(x)) calcolata nel punto x è uguale al prodotto della derivata della componente esterna g(y) calcolata nel punto y=f(x) per la derivata della componente interna f(x) calcolata nel punto x.

Ne consegue che, se la funzione composta g(f(x)) è derivabile in un intervallo, allora la derivata della funzione composta è uguale al prodotto della derivata di g rispetto ad f(x) (pensata come una variabile indipendente) per la derivata di  rispetto ad x.

Corollario(derivata della potenza) ( ) è derivabile e si ha 

Dimostrazione

Essendo, per la regola di derivazione delle funzioni composte risulta:

Osservazione

si noti che, in particolare, per si ha: