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SERIE NUMERICHE
DEFINIZIONE
Considerando una successione di numeri naturali:
si definisce serie numerica la somma costruita con i numeri della successione:
(1)
calcolare una serie vuol dire trovare il valore di questa somma.
Una serie numerica può essere scritta nella forma (1) oppure in forma estesa:
Le due forme sono equivalenti.
I termini 
sono detti termini mentre 
è
il termine generale della serie.
Pre dare significato all'espressione(1) cominciamo a sommare i termini che compaiono:
dove 
rappresenta la somma parziale
n-esima. All'aumentare del valore di n, corrisponde un
aumento dei termini che vengono sommati, e quindi considerando il limite dell'
n-esima parziale per n che tende all'infinito si ha:
e si possono considerare tre casi:
il valore del limite S è
determinato e finito. La serie è convergente ed il suo valore è S
il
valore del limite è + . La serie è divergente
non è possibile determinare il valore del limite. La serie è indeterminata o
oscillante
SERIE NOTE
SERIE DI MENGOLI 
Sciviamo la serie informa tabellare
dobbiamo quindi determinare il carattere e il valore della serie.
Se non operiamo nessuna semplificazione il valore del limite della ridotta ennesima vale zero.
Per risolvere questa serie, e di conseguenza tutte le altre, dobbiamo cercare sempre di semplificare la serie o, al più, scriverla in un modo più semplice per poter operare opportune semplificazioni.
In questo caso:
,
,
la serie di Mengoli è convergente ed ha come somma L.
SERIE ARMONICA 
In forma tabellare è:
la serie non può che essere divergente: calcolando a piacere alcune somme parziali si noterà come ogni somma parziale è maggiore della precedente.
SERIE GEOMETRICA 
In forma estesa si ha:
per risolvere questa serie non applichiamo più la solita procedura ma dobbiamo operare facendo prima le seguenti considerazioni:
indichiamo con 
il primo termine della serie (nel nostro caso L)
q sarà la ragione della serie
il valore di 
sarà dato da 
(somma di una progressione geometrica finita avente per
ragione q)
bisogna considerare allora il seguente limite:
dobbiamo
quindi analizzare i vari casi in cui si può presentare 
:
il
limite è uguale a zero
il
limite è uguale a più infinito: la serie diverge positivamente
la
serie è
oscillante o indeterminata
pertanto la somma
della serie geometrica è 
se la ragione q è in valore assoluto
minore di uno.
SERIE ARMONICA GENERALIZZATA DI ORDINE 
con 
;
per =1 la serie diventa una serie armonica
vista precedentemente;
per 
la serie diverge;
per 
la serie converge;
CRITERI DI DIVERGENZA
Da ta una serie a
termini positivi calcoliamo:
se il valore del limite è uguale a zero non si può fare nessuna
considerazione;
se il valore del limite è diverso da zero allora la serie diverge
CRITERI DI CONVERGENZA
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NOME |
ENUNCIATO |
QUANDO UTILIZZARLO |
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CRITERIO DEL RAPPORTO O D'ALEMBERT |
Data la serie a termini positivi
se esiste finito il limite
allora
|
questo criterio va
utilizzato quando in |
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CRITERIO DELLA RADICE |
Data la serie a termini positivi
Se esiste finito il limite
allora
|
questo criterio va
utilizzato quando tutto |
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CRITERIO DELL'INTEGRALE |
Data la serie a termini positivi:
con le seguenti ipotesi:
si consideri il seguente:
se l'integrale converge anche la serie converge; se l'integrale diverge anche la serie diverge. |
Questo criterio viene applicato quando l'integrale da risolvere è di facile risoluzione. |
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PRIMO CRITERIO DEL CONFRONTO |
Per applicare questo criterio è necessario conoscere quando una serie è MINORANTE o MAGGIORANTE: considerando due serie a termini positivi:
se per ogni diremo che:
solo adesso possiamo applicare il primo teorema del confronto: date due serie a termini positivi:
se per ogni allora:
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SECONDO CRITERIO DEL CONFRONTO o ASINTOTICO |
Date due serie a termini positivi:
si supponga che esiste il limite
se se Allora le due serie hanno lo stesso carattere. |
Questo criterio si applica quando i precedenti (.più semplici da applicare) non si possono applicare e quando si riesce a trovare una serie nota che si possa confrontare con la serie data. |
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una funzione che
risulta
è divergente
e 
;