Regole di derivazione

Regole di derivazione

Le principali regole di derivazione sono:

• la derivata del prodotto di una costante per una funzione;
• la derivata della somma di  due o più funzioni;
• la derivata del prodotto;
• la derivata del quoziente;
• la derivata dell'inversa di una funzione

Nel primo caso, data la funzione F(x)=kf(x),
Infatti.

Si può quindi dire che la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.

Se consideriamo ad esempio

,  dunque  .

La derivata della somma di  due funzioni  è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni, cioè:

La regola ovviamente è valida anche nell'eventualita di più di due funzioni.
La dimostrazione di quanto affermato è la seguente:

Data la funzione 

F(x)=f(x)+g(x)

Cosi' se y=3x+cosx+5, y'=3-senx.

Nel caso del prodotto  F(x)=f(x)g(x) si ha:

La derivata di un prodotto di due funzioni è uguale alla somma del prodotto della derivata della prima per la seconda non derivata con la prima non derivata per la derivata della seconda.

Data ad esempio la funzione

y=3xsenx , y'=3senx+3xcosx

Nel quoziente

La derivata del quoziente di due funzioni è uguale ad un rapporto che ha al  numeratore la differenza fra il prodotto della prima derivata per la seconda non derivata e il prodotto della prima non derivata per la seconda derivata e al denominatore, la seconda funzione al quadrato.
Esempio:
data

.

Nel caso dell'inversa di una funzione

La derivata dell'inversa di una funzione è uguale all'opposto del  rapporto fra la derivata della funzione e la funzione al quadrato.
Cosi'

ha come derivata

In queste righe le funzioni sono state indicate a volte con la lettera F, a volte con la y, ciò non deve destare dubbi in quanto tutte e due le lettere si possono utilizzare per indicarle