Punti di massimo e di minimo

PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO

Vediamo infine come riuscire a determinare i punti di massimo e di minimo in una funzione a due variabili.

Data una funzione  siamo in grado di calcolare:

• Le derivate prime;
• Le derivate seconde;
• Le derivate seconde miste;

Come si determinano i punti di MAX e MIN liberi di una superficie?

Si calcolano le derivate parziali prime;

Si instaura il sistema

e si determina un insieme di soluzioni, tante quanto il grado del sistema.Ciascuna soluzione rappresenta un punto stazionario della funzione data. Ricordiamo che il grado del sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni.

Conosciamo i punti stazionari della funzione ma non conosciamo la loro natura.

Si calcolano le derivate parziali seconde ed una derivata parziale seconda mista:

,        , ;

Si calcola l'HESSIANO

considerando l'hessiano come una matrice il suo valore verrà dato dal prodotto dei termini sulla diagonale maggiore meno il prodotto dei termini sulla diagonale minore:

Si calcola:

; ;

cioè si sostituiscono le variabile x e y dell'hessiano con i valori di x e y dei vari punti. In questo modo avremo dei valori numerici  che possono essere maggiore, minore o uguali a zero.

Se = 0 allora non possiamo dire nulla;

Se < 0 allora  è un punto di sella;

Se > 0 allora  o è un punto di massimo o è un punto di minimo;

un punto di sella è contemporaneamente un punto di massimo e di minimo.

Se abbiamo trovato qualche > 0 calcoliamo:

se  allora P_i è un punto di minimo

> 0

se  allora P_i è un punto di massimo