Proprietą delle serie convergenti

Le serie convergenti godono di alcune proprietą che permettono di operare con esse come se fossero somme finite.

I proprietą: Se la serie uk ha somma S, allora la serie vk, con vk=auk ha somma S'=aS. P.es. se

S=1+1/2+1/4+1/8+=1/(1-1/2)=2

allora

S'=3S=3+3/2+3/4+3/8+=3/(1-1/2)=6

II proprietą: Le serie convergenti si possono sommare o sottrarre. Se la serie uk ha somma S e la serie vk ha somma R, la serie wk , con wk = uk+vk ha somma S'=S+R. Per esempio se

S=1+1/3+1/9+1/27+=1/(1-1/3)=3/2

R=1+2/3+4/9+8/27+=1/(1-2/3)=3

allora

S'=2+1+5/9+1/3+=S+R=3/2+3=9/2

III proprietą: La proprietą di convergenza o divergenza non cambia se si aggiunge o sottrae un numero finito di termini alla serie (Cambia tuttavia il valore della somma). Per esempio se

S=1+1/2+1/4+1/8+=1/(1-1/2)=2

S'=(2+3+4)+1+1/2+1/4+1/8+=(9)+1/(1-1/2)=9+2=11

IV proprietą: Il termine generico uk di una serie convergente tende a zero quando k tende all'infinito. La condizione č necessaria per la convergenza della serie, ma non sufficiente; p. es. la serie armonica verifica la condizione uk->0, ma č divergente.