Una nuova interpretazione fisica della geometria euclidea

UNA NUOVA INTERPRETAZIONE FISICA della geometria euclidea

Torniamo a considerare per un momento la geometria euclidea. Immaginiamoci un foglio di carta enorme, che si estenda indefinitamente in tutte le direzioni. Questo foglio di carta è un'illustrazione fisica del piano matematico, il piano in cui valgono i teoremi della geometria euclidea. Supponiamo ora di modificare la forma di questo enorme piano di carta incurvandone un po' verso l'alto i lati destro e sinistro (fig. 3), in modo che esso formi una superficie curva, la quale continui nondimeno a estendersi indefinitamente in tutte le direzioni, come il piano originario. Una tale superficie è nota come superficie cilindrica. In seguito al mutamento di forma, la maggior parte delle linee rette del piano precedente diventano linee curve le quali, come le linee rette del piano, sono le traiettorie più brevi fra i punti che esse congiungono sulla superficie. Chiamiamo tali curve geodetiche. Due linee rette che erano parallele nel piano diventano geodetiche parallele, ossia geodetiche che non si incontrano nella superficie. I triangoli del piano originario diventano figure formate da archi di geodetiche sulla superficie. Chiameremo anche queste nuove figure 'triangoli." I cerchi del piano danno origine a figure che chiameremo "cerchi."

Fig. 3. Nuova interpretazione visiva della geometria euclidea.

Passiamo ora a un fatto davvero sensazionale. Ogni postulato della geometria euclidea vale per le figure sulla superficie cilindrica, a una condizione: che interpretiamo le parole linea, triangolo e cerchio come abbiamo suggerito sopra. Perciò i teoremi della geometria euclidea che seguono dai postulati mediate un ragionamento deduttivo, un processo del tutto indipendente dalle figure che possiamo tracciare, valgono anche per figure sulla superficie incurvata. Per fare un esempio, la somma degli angoli di un "triangolo" sulla superficie è di 180s. Si potrebbe obiettare a tale ragionamento che le linee rette e le figure definite nei termini di linee rette non posseggono più il loro proprio significato,avendo perso la loro rettilinearità. E' tuttavia possibile trarre vantaggio dal fatto che i concetti fondamentali della geometria, come punto e linea, sono indefiniti. Noi usiamo soltanto le proprietà di questi concetti che sono formulate esplicitamente negli assiomi. Perciò, se una nuova immagine fisica della linea ha, ad esempio, le proprietà richieste dai postulati, è possibile adottare questa nuova immagine. E' perciò logicamente giustificabile associare all'intera geometria euclidea un'immagine fisica del tutto nuova.