Nota integrativa- La risposta alla funzione impulsiva nelle reti lineari

Nella caratterizzazione dinamica delle reti assumono un ruolo fondamentale sia le soluzioni della equazione algebrica associata all'omogenea (esprimibili come frequenze naturali l_k o attraverso le costanti di tempo t_k l_k, reali o complesse coniugate) sia l'integrale particolare. Poiché le soluzioni l_k sono negative o a parte reale negativa nei circuiti reali (dissipativi), l'integrale particolare può essere costituito, se individuabile, dalla soluzione secolare o a tempo infinito ovvero dalla soluzione a regime (es. stazionario, sinusoidale, periodico, etc). Ne caso di forzamento polinomiale, esponenziale o cisoidale (ossia costituito da una combinazione di funzioni esponenziali e trigonometriche), la soluzione secolare sarà del tipo polinomiale, esponenziale o cisoidale; il principio di identità applicato al sistema differenziale ci permette di valutare completamente l'integrale particolare e quindi l'integrale completo.

Laddove il forzamento non fosse del tipo suddetto o addirittura non esprimibile analiticamente (si pensi ad esempio ad una tensione indotta da un fulmine o, più semplicemente, al segnale derivante da un microfono), l'evoluzione delle grandezze nella rete potrà essere ricondotta a delle risposte "canoniche" ossia a forzamenti "standard".

Forzamenti standard fondamentali sono la sollecitazione "a gradino" e la sollecitazione "ad impulso". La prima sembra più "accessibile" anche dal punto di vista sperimentale, la seconda si presenta più adatta ad una formulazione analitica compatta.

La funzione a gradino

Per una utile presentazione della funzione a gradino (che ci permetterà di interpretare meglio la funzione impulsiva), consideriamo una funzione continua e generalmente derivabile del tipo

Definiamo funzione a gradino di valore unitario applicato nel punto t la funzione

La funzione a gradino risulta discontinua nel punto di applicazione.

Funzione impulsiva

PD D

Consideriamo la funzione

t

D t D

Tale funzione può essere considerata la derivata dalla funzione U_D

Una proprietà notevole della funzione suddetta è la seguente

Al tendere a zero di D, il valore di P_D tende ad infinito.

La funzione impulsiva unitaria del 1° ordine (impulso di Dirac nell'istante t ) viene definita nel modo seguente:

Nell'ambito della teoria delle distribuzioni, la funzione impulsiva può essere considerata la derivata della funzione a gradino.

La funzione P_D può essere considerata come la differenza tra due gradini, uno di valore 1/2D applicato in t D e l'altro di valore -1/2D applicato in t D. Possiamo quindi pensare di reiterare il procedimento precedente ed arrivare alla definizione di impulso del 2° ordine (doppietto, costituito da due impulsi del primo ordine "contigui" e di segno opposto, di valore illimitato) e degli impulsi di ordine superiore.

Campionamento di una funzione f(t)

Consideriamo una funzione f(t) generalmente continua e derivabile. Volendo descrivere tale funzione in un intervallo (0,t ) si può immaginare di suddividere l'intervallo in N sottointervalli di ampiezza Dt= t /N e di considerare la funzione f*(t) (di tipo "a scaletta) di valore costante nei sottointervalli e pari al valore della funzione f(t) nell'estremo sinistro.

La funzione f*(t) si "compone" con funzioni "finestra" del tipo P_D(t-t_k), ma di ampiezza pari al valore che la funzione f(t) ha nell'estremo sinistro del sottointervallo:

Per N Dt 0 e f*(t) f(t). Pertanto possiamo concludere che la funzione f(t) può essere descritta, nell'intervallo suddetto, attraverso i "campioni" f(t) "filtrati" da impulsi di Dirac

Risposta forzata (integrale di convoluzione)

Considerata una rete lineare passiva, tempo-invariante, a riposo all'istante t_o, sollecitata dal forzamento f(t) (in tensione o corrente), la risposta (tensione o corrente di lato) y_f(t) (evoluzione forzata) può quindi essere espressa per ogni istante t>t_o dalla sovrapposizione "contemporanea" dei termini componenti la f(t) e quindi dall'integrale di convoluzione

dove h(t-) è la risposta ad un forzamento impulsivo unitario centrato nell'istante generico (t_o<<t)

Se la rete non è a riposo, essa può essere ricondotta ad una rete a riposo considerando degli opportuni "forzamenti impulsivi" per la ricostruzione delle variabili di stato. La risposta a questi forzamenti fittizi (a forzamento f(t)=0) rappresenta l'evoluzione libera per cui, per una rete non a riposo, la risposta y(t) è la somma dell'evoluzione libera e dell'evoluzione forzata:

.

Si vuole nel seguito riportare alcune considerazioni generali sulla h(t), che possono essere di aiuto nelle applicazioni per la determinazione della stessa.

1. RETI DI ORDINE ZERO

Si consideri una rete costituita da soli resistori. Essa è di ordine zero (nel sistema fondamentale non vi sono relazioni differenziali).

E' immediato riconoscere che per un forzamento impulsivo unitario f(t)=(t), ogni risposta h(t) è impulsiva (fig.1); è da sottolineare che h(t)=0 per t>0, essendo la rete senza memoria.

fig.1

Quindi la risposta forzata generica è la 'copia modificata' attraverso il fattore di riporto k_h (dimensionale o adimensionale a seconda dei casi) (fig.2)

fig.2

2. RETI DEL I ORDINE

Si considerano i due casi rilevanti:

a) un solo bipolo condensatore di capacità C (fig.3a);

b) un solo bipolo induttore di induttanza L (fig.3b)

fig.3

Nel caso a) si può affermare, salvo le eccezioni di cui appresso, che l'impulso in ingresso carica il condensatore. Infatti la rete a monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può sostituire il bipolo equivalente di Norton (fig.4a); l'intensità di corrente del generatore equivalente di Norton e la tensione che si ritrova immediatamente ai capi del condensatore valgono rispettivamente

i_ABcc(t)= k_ABN (t)

dove k_ABN è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di tempo (0-,+

fig.4

Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato (fig.5a):

il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto k_h; esso sarà nullo se la risposta è la tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare 'alimentata' dal condensatore (come la resistenza equivalente del bipolo equivalente di Norton); negli altri casi tale fattore si determina in una rete di ordine zero, ottenuta sostituendo al condensatore un corto circuito. Il fattore k_c si ottiene invece considerando il "riporto" della tensione sul condensatore alla grandezza di uscita prescelta (anche in questo caso il calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine zero, in cui tra l'altro il forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione). Il fattore k_ABN dipende invece dalla posizione del condensatore rispetto al forzamento.

fig.5

Le tensioni e correnti della porzione di rete N' nella fig.6a certamente non contengono termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente interessati da termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica è necessaria per meglio determinare il comportamento della porzione N'.

fig.6

E' tuttavia da sottolineare che vi sono casi banali e 'patologici':

- se la corrente di cortocircuito i_ABcc(t) è nulla (perchè la tensione a vuoto ai morsetti AB è nulla: ad es. parallelo con un cortocircuito o condensatore inserito sulla diagonale di un ponte bilanciato), la rete è di ordine zero e senza memoria ( il condensatore non si carica);

- se lo stesso condensatore è alimentato con un generatore di tensione impulsivo, il condensatore si carica ad una tensione impulsiva, la corrente nel condensatore è un'impulso del secondo ordine, le grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la rete non ha memoria.

Trattasi, come si vede, di casi marginali.

Anche nel caso b) si può affermare che l'impulso in ingresso carica l'induttore. Infatti la rete a monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può sostituire il bipolo equivalente di Thévénin  (fig.4b); la tensione del generatore equivalente di Thévénin e la intensità della corrente che si ritrova immediatamente nell'induttore valgono rispettivamente

v_oAB(t)= k_ABT (t)

i_AB k_ABT /L

dove k_ABT è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di tempo (0-,+

Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato :

il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto k_h; esso sarà nullo se la risposta è la tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare 'alimentata' dall'induttore (come la resistenza equivalente del bipolo equivalente di Thévénin); negli altri casi tale fattore si determina in una rete i ordine zero, ottenuta sostituendo all'induttore un circuito aperto. Il fattore k_L si ottiene invece considerando il "riporto" corrente dell'induttore alla grandezza di uscita prescelta (anche in questo caso il calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine zero, in cui tra l'altro il forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione). Il fattore k_ABT dipende invece dalla posizione dell'induttore rispetto al forzamento.

Le tensioni e correnti della porzione di rete N' nella fig.6b certamente non contengono termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente interessati da termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica sarebbe necessaria per migliorare l'analisi del comportamento della porzione N'.

E' tuttavia da sottolineare che anche qui vi sono casi banali e 'patologici':

- se la tensione a vuoto è nulla (perché la corrente di cortocircuito nel ramo AB è nulla: ad es. serie con un circuito aperto o induttore inserito sulla diagonale di un ponte bilanciato), la rete è di ordine zero e senza memoria ( l'induttore non si carica);

- se lo stesso induttore è alimentato con un generatore di corrente impulsivo, esso si carica ad una corrente impulsiva, la tensione sull'induttore è un impulso del secondo ordine, le grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la rete non ha memoria.

3. RETI DI ORDINE SUPERIORE

Si possono considerare i seguenti casi fondamentali:

a)     reti con due condensatori C e C

b)     reti con due induttori L ed L

c)     reti resistivi con un accoppiamento magnetico non perfetto M;

d)     reti con un induttore ed un condensatore.

Nei primi due casi non si considereranno i casi di bipoli in serie o parallelo, in quanto si rientrerebbe in problemi del primo ordine.

Nel caso a) si considerino il caso fondamentale di forzamento impulsivo di corrente Q_od(t) su C (fig.3.1). In tal caso C si carica istantaneamente alla tensione di valore Qo/C , mentre C non si carica in quanto le correnti nella rete N" non possono essere impulsive. La tensione su C resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso del tipo d) descritto dalla fig. 3.2; in questo vaso infatti, non potendo essere impulsive neanche le tensioni in N", non si può dar luogo ad una brusca variazione della corrente nell'induttore, che resta quindi continua.

Nel caso b) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo in tensione Fod(t) su L (fig.3.3). In tal caso L si carica istantaneamente alla corrente di valore F_o/L , mentre L non può caricarsi istantaneamente in quanto tutte le tensioni in N" sono limitate. La corrente in L resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso del tipo d) descritto dalla fig. 3.4; in questo vaso infatti, non potendo essere impulsive neanche correnti in N", non si può dar luogo ad una brusca variazione della tensione sul condensatore, che resta quindi continua.

In generale, nei casi di tipo a) [di tipo  b)] occorrerà considerare se le correnti [le tensioni] nei condensatori [sugli induttori] prodotti dai generatori impulsivi di tensione e di corrente siano o meno impulsive. Per avere questa informazione, ricordando che le grandezze di stato - escluso i casi patologici - possono avere nello zero al più un salto limitato e quindi trascurabile rispetto all'impulso, basterà considerare al posto dei condensatore [degli induttori] un generatore di tensione [di corrente] trascurabile e valutare in una rete "praticamente" resistiva la distribuzione delle correnti [delle tensioni] relativi ai rami dove sono ubicati i suddetti generatori di valore trascurabile. Se le correnti [le tensioni] risulteranno impulsive di valore A_k, si avranno dei corrispondenti salti di tensione [di corrente] pari a A_k/C_k [A_k/L_k]. Tali considerazioni possono essere estese anche ai casi di tipo d).

I casi del tipo c) rientrano nei casi di due induttori, potendo per un accoppiamento mutuo non perfetto considerare una rete equivalente contenente un trasformatore ideale (senza memoria) e quattro induttanze fittizie L' ,L" ,L' ,L" (L =L' +L" ; L =L' +L" ) di cui una (L' o L' ) può essere scelta arbitrariamente mentre L" ed L" danno luogo ad una accoppiamento perfetto (ossia ad una sottorete del primo ordine).

Si può controllare che i casi a),b),c) danno luogo a frequenze naturali (o a costanti di tempo) reali e distinte.

Le considerazioni sopra esposte possono essere facilmente estese a reti di ordine superiori contenenti:

a') un numero qualsiasi di condensatori;

b') un numero qualsiasi di induttori;

c') un numero qualsiasi di mutui accoppiamenti ed induttori;

d') un numero qualsiasi di condensatori, induttori e mutui accoppiamenti.