L'equazione di schrodinger

L'EQUAZIONE DI SCHRODINGER

La teoria dei quanti di Plank e l'interpretazione dell'effetto fotoelettrico data da Einstein evidenziano una sconcertante proprietà delle radiazioni elettromagnetiche. Esse, da una parte, manifestano il proprio aspetto ondulatorio, in quanto si propagano come onde, dall'altra, quando interagiscono con un ostacolo materiale, possono dare origine sia a fenomeni di tipo ondulatorio, come quelli di interferenza e di diffrazione, sia a fenomeni di tipo corpuscolare.

Alla luce di queste considerazioni, le due teorie sulle radiazioni, non devono essere più considerate in antitesi, in quanto esse interpretano i due diversi modi con cui si manifestano le radiazioni.

L'aspetto corpuscolare si manifesta più frequentemente per le radiazioni di più alta frequenza; l'aspetto ondulatorio, invece, è più evidente nelle radiazioni di più bassa frequenza in cui si manifestano i fenomeni di interferenza.

In ogni caso, in nessun fenomeno possono evidenziarsi entrambi i caratteri, in quanto il manifestarsi di uno di essi esclude automaticamente l'altro.

L'estensione di tale principio a tutta la materia si ebbe nel 1924 con  Louis de Broglie, un giovane scienziato francese che formulò una relazione matematica nota come principio di de Broglie.

Tale principio afferma che ad ogni corpo materiale di massa m che si muove con velocità v, si può associare un'onda la cui lunghezza d'onda è inversamente proporzionale al momento della sua quantità di moto:

Anche in questo caso, l'aspetto ondulatorio e quello corpuscolare del fenomeno non possono essere evidenziati contemporaneamente. Per corpi di massa relativamente grande si manifesterà necessariamente l'aspetto corpuscolare, in quanto l'onda ad essi associata risulterà così piccola da non rientrare nel campo delle grandezza sperimentalmente misurabili. Per corpi più piccoli, invece, l'aspetto ondulatorio potrà prevalere su quello corpuscolare.

In base a tali considerazione tra il 1924 e il 1928, si verificò il sorgere di una nuova meccanica atomica detta meccanica ondulatoria. I presupposti di questa nuova teoria possono essere così riassunti:

poiché quando si scende nell'infinitamente piccolo le leggi della meccanica classica non sono più in grado di interpretare in modo preciso lo stato della particelle, c'è la possibilità di poter descrivere il loro comportamento attraverso lo studio del moto dell'onda ad esse associata.

I principi della meccanica quantistica trovarono la loro più proficua

applicazione nei lavori di Erwin Schrodinger, un giovane fisico viennese che nel 1926 combinando opportunamente l'onda di de Broglie con l'equazione classica delle onde stazionarie, descrisse il moto dell'onda associato all'elettrone.

Consideriamo un'onda stazionaria unidirezionale la cui ampiezza è funzione solo della direzione di propagazione.

L'equazione generale è di tipo differenziale ed in base alla teoria classica delle onde è data da:

                         

Per arrivare a tale equazione partiamo dalla funzione onda del tipo:

Che dipende sia dal tempo sia dalla posizione, e assume lo stesso valore ogni volta che la posizione aumenta di (lunghezza d'onda) o il tempo aumenta di T( periodo).

Se deriviamo due volte rispetto a x otteniamo:

Cioè

Nel caso di particelle, ricordando la relazione di de Broglie l'equazione diventa:

Poiché l'energia totale di una particella è E = K+U, con K =, possiamo sostituire nell'equazione preceente la quantità di moto p con l'espressione p =, ottenendo così:

Che rappresenta l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo.

La funzione d'onda , soluzione dell'equazione di Schrodinger, assume forme diverse a seconda dei valori di E e di U.

In un primo tempo il fisico viennese pensò di attribuire a questa funzione il significato di densità di carica o di materia, ma ben presto si accorse che ciò contrastava con varie evidenza sperimentali.

Il fisico tedesco Max Born suggerì di interpretare il quadrato di come la probabilità di trovare la particella considerata in una determinata posizione, in un determinato istante.

Nel caso di un elettrone nell'atomo di idrogeno o, più semplicemente, di una particella in una scatola, si verifica una situazione simile a quella delle onde sonore in un tubo, dove si producono onde stazionarie, pertanto le funzioni d'onda che soddisfano l'equazione rappresentano i modi di vibrazione possibili, con un'energia E.

Questo comporta una distribuzione discreta dei livelli di energia.

Come semplice applicazione, risolviamo l'equazione di Schrodinger relativa ad una particella di massa m, vincolata a muoversi avanti e indietro all'interno di una scatola di larghezza l e con pareti di altezza infinita.

In questo caso, l'energia potenziale è U = 0 e l'equazione diventa:

, avendo posto z =

Questa equazione è un'equazione differenziale del secondo ordine e le sue soluzioni possono essere scritte nella forma con A, B e a costanti da determinare.

Affinchè rappresenti un'onda stazionaria confinata nella scatola dobbiamo avere = =0 cioè:

A sin(0) + B cos(0) = 0 da cui B=0

A sin() + B cos()= 0

Da cui, tenendo conto del fatto che B = 0, = cioè

( con = 1,2,3,..)

Perciò abbiamo:

Per determinare la costante A, dobbiamo considerare che rappresenta una densità di probabilità, cioè che rappresenta la probabilità (infinitesima) di trovare la particella nell'intervallo (infinitesimo) compreso tra e .

Poiché la particella non può uscire dalla scatola, la probabilità di trovarla in un punto qualsiasi dell'intervallo compreso tra 0 e l deve valere 1.  In termini matematici questa condizione è detta "condizione di normalizzazione" ed è espressa mediante il seguente integrale:

cioè

Da cui otteniamo:

A =

La funzione d'onda, soluzione dell'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo, in questo caso è dunque:

Questa è un'onda con pulsazione uguale a ; tuttavia sappiamo che nell'equazione , la pulsazione è data anche da , per cui uguagliando queste espressioni otteniamo i valori dell'energia:

= da cui E =

L'energia quindi può assumere determinati valori che dipendono dal numero n.

Per ogni valore dato, n, abbiamo una valore di E e una funzione d'onda corrispondente, .

BIBLIOGRAFIA

"Filosofia: filosofie contemporanee" tomo 5  DE BARTOLOMEO-MAGNI

"Itinerari di filosofia" volume 3 tomo 3a ABBAGNANO-FORNERO

"I principi della matematica" RUSSELL

"L'immagine della scienza: il dibattito sul significato dell'impresa scientifica 

nella cultura italiana" GIORELLO

"Storia del mondo moderno e contemporaneo" volume 3 tomo 3a     

PROSPERI-VIOLA

"Le parole di sempre" GIACALONE-RAGNI

"Divina Commedia: canti scelti" TORDINI-DELL'AQUILA

"Scrinium" volume 2  DI SACCO-SERIO

"Flatland: A romance of many dimensions" ABBOTT

"Fisica: Elettromagnetismo, Fisica atomica e subatomica" volume 3 WALKER

"Le basi della Chimica: atomi e molecole, strutture e reattività" 

GIANNOCCARO

"Il globo terrestre e la sua evoluzione" edizione VI  PALMIERI-PAROTTO