La regola di l'hopital

LA REGOLA DI L'HOPITAL

Consideriamo due funzioni reali f e g entrambe infinitesime o entrambe infinite in un punto. In tal caso il loro rapporto f/g si presenta in forma indeterminata o perché il limite può esistere (finito o infinito) come può non esistere. Un metodo utile per studiare tali forme indeterminate è fornito dal seguente teorema

TEOREMA DI L'HOPITAL(senza dimostrazione)

Siano f(x) e g(x) due funzioni reali derivabili nell'intervallo con (nell'intervallo con ). Supponiamo che risulti

E che i rapporti f/g e f'/g' abbiano significato in (in ) cioè che risulti , se f e g sono infinitesime in . In tale ipotesi vale l'implicazione:

Osservazione 1 (notevole)

In base al teorema di l' Hospital ogni volta che il limite

Si presente nella forma indeterminata 0/0 o nella forma si può cercare di calcolare tale limite sfruttando il limite in del rapporto delle derivate

.

Se quest' ultimo limite esiste (finito o infinito) allora esiste anche il e risulta

.

Naturalmente può capitare che anche il limite in del rapporto delle derivate f'/g' si presenti in forma indeterminata. In tal caso, se f' e g' verificano le ipotesi del teorema di l' Hopital, è possibile riapplicare la regola di l'Hopital e cioè si può provare a calcolare il limite

Evidentemente, se questo limite esiste, risulta

E conseguentemente

.

Osservazione 2

Si noti che l'implicazione contenuta nel teorema di l' Hospital non si inverte. Consideriamo ad esempio le funzioni

Le quali sono entrambe infinitesime in 0 e verificano le ipotesi del teorema. Si ha

E quindi    Tuttavia risulta:

Osservazione 3

Da questi esempi si deduce che la regole di l' Hospital si può applicare non solo ai limiti nelle forme indeterminate 0/0 e ma anche, con opportuni artifici di calcolo, a tutte le forme indeterminate.