La parabola

La parabola

La definizione della parabola è la seguente: è il luogo di punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice non passante per il fuoco.

Tenendo conto a chi è rivolto questo lavoro, la definizione ha un'importanza relativa, ma era necessario introdurla per chiarire che ci sono dei punti particolari (fuoco, direttrice) che sono rappresentativi di ogni parabola

L'equazione della parabola è rappresentata da un espressione di secondo grado di questo tipo:

			Equazione della parabola

 

Come al solito la x e la y sono incognite, mentre a, b e c sono valori numerari.

Fig. 1

Il vertice è il punto più basso (nel caso in cui la concavità sia rivolta verso l'alto), l'asse di simmetria passa per il vertice ed è parallelo all'asse Y

Queste sono le formule degli elementi significativi

Vertice    Fuoco

asse di simmetria direttrice

Per determinare l'equazione di una parabola sono necessarie tre condizioni, in quanto i parametri da trovare sono tre (a, b, c).

a)     le coordinate di un punto della parabola danno una condizione;

b)     le coordinate del vertice danno due condizioni ;

c)     le coordinate del fuoco danno due condizioni;

d)     l'equazione della direttrice da una condizione;

e)     l'equazione dell'asse di simmetria da una condizione;

f)      l'equazione di una retta tangente alla parabola da una condizione.

Equazione di una parabola passante per tre punti

Trovare l'equazione della parabola passante per A(0;-8), B(1;-10), C(2;-6)

L'equazione generica è  . Si imposta un sistema a tre equazioni sostituendo alle x e alla y i valori di ciascun punto.

L'equazione finale sarà dunque

Calcolare il vertice della parabola

Troviamo il vertice della parabola dell'esempio precedente

Applicando la formula sarà:

           

Se per trovare l'equazione della parabola viene dato il vertice, questo rappresenta da solo 2 delle condizioni necessarie ponendo ad es.      e

Disegnare la parabola

La rappresentazione grafica della parabola richiede la determinazione di alcuni punti significativi sul sistema di assi cartesiano.

Il primo è vertice, punto più basso o più alto (a seconda di dove è rivolta la concavità della parabola), poi è consigliabile trovare le intersezioni con gli assi x ed y.

Es.   Disegnare la seguente parabola

Il vertice sarà

       

L'asse di simmetria, la cui equazione è uguale all'ascissa del vertice, è

Per trovare le intersezioni con gli assi è necessario mettere a sistema l'equazione della parabola con quella di ogni asse cartesiano (ricordiamo: x=0 per l'asse delle y ed y=0 per l'asse delle x)

      La soluzione è immediata in quanto sostituendo 0 alle x resta

che è l'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.

           risolviamo l'equazione di 2° grado

Queste sono le intersezioni con l'asse x

Equazione della retta tangente alla parabola in un punto dato

Questa in genere è una delle parti più complesse per i ragazzi. Ci si limiterà quindi a dare la formula e vederne l'applicazione.

equazione della retta tangente alla parabola in un punto

di coordinate P(X­­₁;Y₁)

Es. 

Applicando la formula otteniamo

    ricordando che nelle equazioni è possibile eliminare il denominatore calcolando il minimo comune multiplo tra i termini del 1° e 2° membro

Questa è l'equazione della retta tangente alla parabola data nel punto P.

Equazioni particolari della parabola

Se la b=0 la formula sarà del tipo questa parabola ha il vertice tangente all'asse delle ascisse .

Se la c=0 la formula sarà del tipo in questo caso la parabola passa per l'origine O (0;0).

Se la b=0 e la c=0 la formula sarà del tipo la parabola ha il suo asse di simmetria che coincide con l'asse delle ordinate e il vertice coincide con O(0;0)

Inoltre se la a è negativa la concavità volge verso il basso, se la a è positiva la concavità volge verso l'alto.