Sviluppo in serie di
una funzione
Si definisce sviluppo in serie di una funzione
f(x) la trasformazione della funzione stessa in una somma di potenze della
variabile indipendente x. Una estesa classe di funzioni puņ essere sviluppata
in serie di Taylor. Queste funzioni sono dette 'analitiche'. Si tratta di
funzioni che possono essere differenziate infinite volte, con derivate tutte
superiormente (inferiormente) limitate, ossia che non assumono valori
infinitamente grandi in modulo. Per una sčiegazione del concetto di derivata si
veda il capitolo relativo. Risulta allora:
f(X) =
f(Xo)+f'(Xo)(X-Xo)+f''(Xo)(X-Xo)²/(2!)+f'''(Xo)(X-Xo)³/(3!)+
Se lo sviluppo viene interrotto dopo n
termini, si commette un errore, che tuttavia in genere (anche se non sempre)
tende a 0 per n che tende all'infinito. Gli addendi dello sviluppo relativi
alle potenze maggiori di 1 vengono chiamati 'ordini superiori'.
Consideriamo come esempio la funzione esponenziale f(x)=exp(x), il cui sviluppo
e' semplificato dal fatto che le derivate sono tutte uguali alla funzione di
partenza. Il suo sviluppo di Taylor nel punto Xo = 0 si ottiene nel seguente
modo:
f(x)=exp(x);
f'(x)=exp(x); f''(x)=exp(x);
f(0)=f'(0)=f''(0)==1
si ottiene pertanto lo sviluppo riportato in
figura.
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