La nozione di limite

LA NOZIONE DI LIMITE

Definizione 1

Sia e . Si dice che è il limite di in o anche che converge ad in o anche che tende a al tendere di a e si scrive:

Quando verifica la seguente proprietà:

(#)     e

Osservazione

Analogamente a quanto visto per le successioni, essendo:

La definizione di limite espressa dalla proprietà (#) è equivalente a:

         

Osservazione 1

Dalle definizioni di limite si deduce che all'esistenza del limite l concorrono soltanto i valori assoluti di f in punti contenuti in un opportuno intorno di e diversi da .

Analogamente il limite l di f in è un numero che può esistere anche quando non esiste il valore f() di f in (ciò è possibile perché il punto non è tenuto ad appartenere ad A). Inoltre all'esistenza del limite l concorrono soltanto i valori di f che sono contenuti in un intervallo I() di (carattere locale della definizione di limite).

Definizione 2

Sia e . Si dice che è il limite di f in o anche che f in diverge positivamente o anche che f tende a per x che tende a e si scrive

Quando f verifica la seguente proprietà:

(#) e .

Osservazione 2

Assunto che:

La proprietà (#) che fornisce la definizione di limite nel caso considerato, è equivalente alla seguente:

Definizione 3

Sia f(x) una funzione reale definita in un insieme non limitato superiormente sicché è punto di accumulazione per A.

Si dice che il numero è il limite di f(x) per o anche che f(x) converge ad l per e si scrive

Quando f verifica la seguente proprietà

(#) e

Analogamente a quanto visto per le predente definizioni di limite, tale proprietà è equivalente alla seguente che restituisce gli intorni delle disuguaglianze

Osservazione 4

Si noti che, in particolare, la precedente definizione di limite (#) restituisce la definizione di limite per le successioni nel caso delle convergenti.

Osservazione 5

In maniera del tutto analoga, lasciamo allo studente che si definiscano i simboli di limite:

;            ; .

Determiniamo qualche considerazione sulla definizione di limite per le funzioni osservando che, analogamente a quanto detto per le successioni, le varie definizioni di limite si possono riassumere tutte nell'unica:

Definizione generale di limite

Sia , un punto di accumulazione per A (al finito o anche all'infinito). Denotiamo col simbolo un intorno qualsiasi di e con un intorno qualsiasi di .

Vale la seguente equivalenza:

Inoltre, analogamente a quanto fatto per le successioni si dice che una funzione f è regolare nel punto quando è dotata di limite in , si dice che f è non regolare in quando non è dotata di limite in .

Esempi:

(semplici sulla verifica di un limite da pag. 5 a pag. 8)