La geometria

La geometria

Par. 1) La struttura assiomatica della geometria

Sulla scia della matematica del XIX secolo, nel corso del Novecento i matematici tentarono di riformulare le teorie ed i sistemi di pensiero nel modo più rigoroso possibile. Tutto ciò era stato fatto per l'analisi e in parte per la topologia, ma in campo geometrico i matematici facevano ancora fede agli Elementi di Euclide. L'opera non era però abbastanza rigorosa e presentava alcune contraddizioni. Fu nuovamente Hilbert a dare un forte contributo alla matematica riorganizzando tutta la teoria geometrica. Egli sostituì i cinque postulati di Euclide con ventuno assunzioni, note oggi come assiomi di Hilbert e concernenti la congruenza, la continuità, l'ordinamento e il postulato delle parallele già presente in Euclide (V postulato). A partire dalla pubblicazione di questi lavori (1899), la struttura assiomatica della geometria è stata universalmente accettata.

Par. 2) Le curve di Hilbert e di Helge von Koch

Hilbert è noto anche per il nome della curva da lui scoperta, detta appunto curva di Hilbert. Tale curva gode di determinate particolari proprietà geometriche. Altra curva di notevole interesse è la curva di Helge von Koch. Quest'ultima è così costruita (si faccia riferimento a ►fig.1):

si prenda un triangolo equilatero (a) e si divida ciascun lato in tre parti congruenti;

si costruisca per ogni lato il triangolo equilatero cha ha per base il segmento compreso tra gli altri due (b)

si continui così all'infinito (c,d,e).

figura 1

La curva appena descritta ha queste due principali proprietà:

a)     non possiede alcuna tangente in nessun punto;

b)     dati due punti della curva, la lunghezza dell'arco di curva compreso trai due punti è infinita.