Interpolazione e perequazione

Interpolazione

L'argomento dell'interpolazione, a causa della sua vastità e soprattutto delle conoscenze matematiche che presuppone, non può trovare qui che un rapido cenno, tendente, più che altro, a mettere in evidenza gli scopi di questo procedimento metodologico.

Ecco i più importanti:

a)     Accade talora che si disponga di una serie lacunosa, cioè mancante di alcuni dati, che naturalmente non è più possibile rilevare; si desidera allora completare la serie, attribuendo un valore ragionevole ai dati mancanti.

Così, se abbiamo i dati relativi agli incidenti stradali nell'ultimo decennio, ma manca il dato del 1978 possiamo cercare di stimare tale dato mediante gli altri noti.

II problema è analogo a quello che abbiamo già studiato per determinare approssimativamente valori di una funzione intermedi fra quelli riportati d tavole (per es. finanziarie o logaritmiche). E può risolversi precisamente, mediante l'interpolazione.

b)     Può darsi che si abbia una serie non lacunosa, ma i cui dati  si ritengono affetti da errori accidentali, che si vorrebbero correggere, elimina­re; oppure i dati mostrano che il fenomeno ha un andamento irregolare, ma ciò è la risultante dell'azione di cause accidentali (che a noi non interessa considerare) e di altre cause più profonde, che noi invece vogliamo conosce re: qui vorremmo eliminare l'influenza di quelle cause accidentali.

Supponiamo di avere una distribuzione degli sposi per classi quinquennali di età di voler conoscere la distribuzione per classi annuali.

Non potremo, ovviamente dividere per cinque ciascuna frequenza e risolvere, in questo modo semplicistico, nostro problema, dovremo fare ricorso ad un appropriato procedimento interpolatorio.    I

Abbiamo detto che il metodo statistico è lo strumento col quale lo studio perviene alla scoperta e alla formulazione, possibilmente mediante espressioni matematiche, delle leggi, quando queste esistono.

Ora, è precisamente con l'interpolazione che si giunge alla formulazione matematica di queste leggi.

Per chiarire il concetto, consideriamo una funzione di cui è data l'espressione analitica,

per es. y = 2 + 3^x.

Con essa si può senza difficoltà costruire una tabella di valori di x e y lunga quanto si vuole.

Per es. dando ad x i valori 0, 1, 2, 3, ecc., si ha la tabella:

Ora lo statistico si trova nella posizione di colui che conosce i valori della tabella e deve scoprire la funzione in base alla quale essa è stata costruita.

La tabella è il frutto di un'esperienza, della rilevazione dei dati.

Può darsi che questi dati rivelino l'esistenza di qualche regolarità, e si vuole allora scoprire l'espressione analitica della funzione che essi rappresentano.

Però, nel problema puramente matematico, si vorrebbe ritrovare la funzione (y=2x+3) che riproduce esattamente i valori della tabella.

A noi invece più spesso basta che la funzione riproduca solo approssimativamente i valori rilevati, esprimendo la tendenza fondamentale del fenomeno, a prescindere da variazioni di carattere accidentale, che non interessano.

Noi dobbiamo limitarci al caso in cui la funzione è di primo grado, corrispondente a una retta. È un caso molto semplice, ma è anche importan­te, perché per molti fenomeni si può ritenere che l'andamento nel tempo sia approssimativamente lineare.

L'interpolazione per punti e fra punti

È data una tabella a due colonne (i cui valori indichiamo con x e con y; spesso si tratta di una serie storica ed x è il tempo); noi cerchiamo una funzione

y = f(x)

che riproduca la tabella stessa.

Invece l'interpolazione fra punti può farsi sempre: se i vari punti si dispongono già circa in linea retta, la retta interpolata passerà molto vicina ad essi (anche se eventualmente non ne tocca nessuno).

In ogni caso si vorrà che la retta passi il più vicino possibile ai punti: è quello che si ottiene quando l'interpolazione fra punti si fa col cosiddetto metodo dei minimi quadrati (il nome significa che si cerca quella, fra le infinite rette, per la quale risulta minima la somma dei quadrati delle differenze tra le ordinate dei punti dati e quelle dei punti di uguale ascissa appartenenti alla retta: si considerano i quadrati per eliminare i segni).

La funzione di primo grado si può sempre scrivere nella forma:

y = mx +q

dove m è il coefficiente angolare e q è l'ordinata all'origine.

Il problema dell'interpolazione è quindi risolto quando si siano trovati i valori dei due coefficienti (o parametri) m e q.

La perequazione e le medie mobili

Perequare significa regolarizzare; se, per  esempio in una serie storica, risulta graficamente un andamento irregolare, si può pensare di sostituire il diagramma con una linea più regolare, che metta in evidenza la tendenza del fenomeno, prescindendo da piccole variazioni di carattere accidentale: si ha allora una perequazione

L'interpolazione fra punti (per es. di una retta, come nell'esempio appena fatto) è un procedimento di perequazione.

Tab.  8 Esempio di perequazione dei dati di una serie storica con medie mobili di tre o cinque termini

Ma quando interessa soltanto mettere in evidenza la tendenza di un fenomeno, senza esprimere analiticamente la relazione che intercorre fra le due variabili, la perequazione si può ottenere con procedimenti più semplici, fra cui è importante la cosiddetta perequazione per medie mobili.

Analogamente può, a seconda dei casi, essere consigliabile effettuare la perequazione per medie di un numero maggiore (ma sempre dispari) di termini.

Un inconveniente del procedimento deriva dal fatto che si perdono il primo e l'ultimo termine della serie nel caso di medie mobili di tre termini, i primi due e gli ultimi due nel caso di medie di cinque termini, ecc.

Chiariamo il procedimento con un esempio, riferito alla Tab. 8.

Nella tabella sono indicati i calcoli occorrenti per le medie mobili di tre termini, nonché per le medie di cinque termini.

Dai dati perequati appare molto più chiaramente la tendenza della produzione del frumento ad aumentare attraverso il tempo.