Integrale di riemann

INTEGRALE DI RIEMANN

Definizione 1

Sia [a,b] un intervallo compatto e x₀ ,x_1, x_2.x_n (n eN) n+1 punti distinti di [a,b] tali che:

a=x_{0 <} x_1<. <x_n =b.

Insieme Ordinato

P=

Si chiama una partizione dell'intervallo [a,b].

Osservazione 1

Si noti che la partizione P di [a,b] definito nella precedente definizione decompone [a,b] negli n intervalli compatti [x_0,x₁], [x₁, x₂]..[x_n-1,x_n ] i quali sono a due a deprivi di punti interni comuni e tali che la loro unione è uguale ad [a,b].

Premesso ciò consideriamo una funzione reale f limitata nell'intervallo [a,b] di definizione. Per ogni partizione P= di [a,b]

Poniamo:      m_i =inf f(x), M_i =sup f(x) i=(0,..,n-1)

[x_i ;x_i+1] [x_i ;x_i+1]

E cioè indichiamo con m_i l'estremo inferiore della restrizione di f all'intervallo [x_i ;x_i+1] e con M_i l'estremo superiore di tale restrizione.

Consideriamo le due somme (dette somme integrali inferiori e superiori

s(P)= m₀ (x₁-x₀)+m₁(x₂ -x₁)+.+m_n-1(x _n -x _n-1)

S(P)= M₀ (x₁-x₀)+M₁(x₂-x₁)+.+M_n-1(x _n -x _n-1)

in altri modi:

s(p)= ; S(p)=

E' evidente che al variare della partizione P di [a,b] tali somme integrali descrivono due insiemi numerici che possiamo indicare con i simboli.

A=, B=

Tali insiemi numerici sono separati e quindi risulta:

S(P1) S(P2)

per ogni coppia di partizione di [a,b].

Conseguentemente, per l'assioma di completezza di R esiste almeno un numero reale che risulta maggiore o uguale di ogni elemento di A e minore o uguale di ogni elemento di B. Nel quale esista un unico elemento di separazione dei due insiemi A e B.

Posto ciò si da la seguente definizione.

Definizione di integrale(secondo Reimann)

Si dice che la funzione f limitata in [a,b] è integrabile (secondo Reimann) in [a,b] quando i due insiemi numerici A e B sono(oltre che separati) contigui e cioè ammettono un unico elemento separatore.

Quando ciò accade l'elemento separatore si indica col simbolo

e tale numero reale si chiama integrale di Reimann della funzione f esteso all'intervallo [a,b].

I numeri reali a e b si chiamano estremi di integrazione e la funzione f(x) funzione integranda.

Osservazione 2

Si noti che, in base alla definizione se f è integrabile in [a,b] risulta:

S(P) S(P) Per ogni partizione P dell'intervallo [a,b]

Si dimostra quindi il seguente risultato:

Teorema sull' integrabilità delle funzioni continue)

Una funzione reale f(x) la quale sia continua nell'intervallo [a,b] è integrabile in [a,b] secondo Reimann.

Osservazione 3

Si noti che se f è continua in [a,b] per il teorema di Weistrass, esistono in [a,b] il minimo m e il massimo M di f. Conseguentemente risulta:

m f(x) M     xe[a,b] e la funzione f limitata in [a,b].