Il teorema ponte

IL TEOREMA PONTE

Proposizione (sui punti di accumulazione di un insieme)

Se è punto di accumulazione per un insiemeesiste una successione di punti di A distinti da che ha per limite il punto .

Dim.

Se, l'intervallo è un intorno di .

Essendo di accumulazione per A in tale intervallo cadono infiniti punti di A diversi da . Per ogni indicheremo allora con uno qualsiasi di tali punti scelto a piacere. In tal modo resta individuata una successione di punti di A diversi da tali che

La quale converge a per il teorema dei carabinieri.

Analogamente si ragiona se .

Definizione

Ogni successione di punti di A distinti da e avente per limite il punto (di accumulazione per A) si chiama una successione di punti di A approssimante .

Osservazione

Si noti che, come si deduce dalla dimostrazione della proposizione precedente, se è un punto di accumulazione per l'insieme A allora esistono infinite successionidi punti di A approssimanti.

Premesso ciò, consideriamo una funzione f(x) definita nell'insieme A e un punto di accumulazione per A.

E' evidente che, per ogni successione di punti di A approssimante è lecito considerare la successione dei valori di  f in punti di e cioè la legge:

Relativamente a tali successioni sussiste il seguente importante teorema del quale omettiamo la dimostrazione per brevità.

Teorema ponte (sul limite delle funzioni)

Siano  f(x) una funzione definita in A, un punto di accumulazione per A, . Vale la seguente equivalenza

per ogni succ.di punti di A approssimante

Osservazione

Si noti subito che l'equivalenza contenuta nel teorema ponte può essere usate per definire il limite di una funzione: l è limite della funzione  f(x) inse e solo se per ogni successionedi punti dell'insieme di definizione di f approssimante risulta essere l il limite della successione.

E' questo il motivo per cui il teorema ponte è molto importante. Un altro motivo per cui il teorema ponte è molto importante è che consente di estendere tutte le proprietà notevoli dei limiti delle funzioni collegandole (cioè facendo ponte) con le analoghe proprietà delle successioni. Ad esempio, utilizzando il teorema ponte dimostriamo la seguente proprietà del limite.

Teorema di unicità del limite

Ogni funzione f(x) che sia regolare in un punto di accumulazione per il suo insieme di definizione non può tendere a due limiti diversi al tendere di x a .

Dim.

Supponiamo per assurdo che  f ammetta in due limiti diversi .

Detta una successione di punti di A approssimante il punto di accumulazione, per il teorema ponte valgono le implicazioni

Ma allora la successione amette due limiti diversi e ciò è impossibile perché in contrasto col teorema di unicità del limite per le successioni. Il teorema è così dimostrato.

Osservazione 1

Naturalmente le proprietà notevoli del limite delle funzioni si possono anche dimostrare direttamente ricorrendo alla definizione di limite delle funzioni senza sfruttare il teorema ponte e i risultati analoghi stabiliti per le successioni.

Termineremo queste considerazioni sul limite delle funzioni aggiungendo il teorema sulle operazioni lecite con i limiti.

Teorema

Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in un insiemeeun punto di accumulazione per A.

Valgono le seguenti implicazioni

Inoltre se allora vale che

Queste implicazioni sono valide purché a+b, ab, e abbiano significato in e cioè non abbiano la forma indeterminata della somma, del prodotto, del rapporto oppure il simbolo l/0.