La quadratura del Cerchio

La quadratura del Cerchio

Diamo succintamente le ragioni di tale insolubilità.

Sia dato un cerchio di raggio R, indichiamo con C=2R la sua circonferenza e con X il lato del quadrato .                                                                                                                   Essendo C=2R otteniamo R = ovvero ; abbiamo quindi alla fine . Il problema della quadratura del cerchio è in tal modo ridotto alla ricerca di un triangolo che abbia per base la circonferenza rettificata e per altezza il raggio, ossia è ridotto al problema della rettificazione della circonferenza e , quindi , assumendo il raggio come segmento unitario, alla costruzione di un segmento lungo . L'interrogativo di costruire tale segmento con riga e compasso rese la quadratura del cerchio il problema insolubile per antonomasia.

Chi nel quinto secolo diede il maggior contributo alla soluzione di questo problema fu il matematico Ippocrate di Chio che mostrò che la lunetta costruita su un quarto di cerchio è quadrabile. Non solo: se fosse possibile anche quadrare la lunetta costruita su un sesto di cerchio, cosa che non sembra troppo diversa, allora sarebbe quadrabile anche il cerchio.

ABC è un triangolo rettangolo isoscele e H è il punto medio dell'ipotenusa BC.
L'arco BMC è un quarto della circonferenza di centro A e raggio AB.
L'arco BNC è metà della circonferenza di centro H e raggio HB.
La figura delimitata dai due archi si chiama lunula o menisco.
Il pitagorico Ippocrate di Chio dimostrò che l'area della lunula BMCN è uguale a quella del triangolo rettangolo ABC

DIMOSTRAZIONE:                            

Indichiamo con a la lunghezza del cateto AB.
Essendo ABC un triangolo rettangolo isoscele, abbiamo che CB = a,                BH = (a)/2.

L'area del triangolo ABC è: a²/2

L'area della lunula è la differenza fra le aree del semicerchio BNC e del settore circolare BMC.
Area semicerchio BNC = ·BH²/2 = a²/4
Area settore BMC = ·AB²/4- a²/2 = a²/4 - a²/2

Area lunula = a²/4 - a²/4 + a²/2 = a²/2

Come si vede, i due termini a²/4 si eliminano a vicenda e rimane a²/2, che è proprio l'area del triangolo rettangolo.

Alcune antiche testimonianze ci narrano che Ippocrate avrebbe ritenuto possibile dedurre che, in generale, tutte le lunule sono quadrabili (qualunque sia il rapporto fra il raggio del primo e il raggio del secondo arco che le delimitano) , e, partendo da questo RISULTATO ERRONEO, si sarebbe illuso di giungere alla quadratura del cerchio.

Molte menti matematiche si cimentarono nel provare a risolvere tale problema ma fu solo nel 1882 che, grazie a Lindemann ,si scoprì che la riga e il compasso da soli, sono insufficienti a trasformare i cerchi in quadrati.  Egli partendo dallo studio della natura del numero dimostrò che oltre ad essere irrazionale era anche trascendente, per cui non costruibile con riga e compasso.