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Il teorema degli incrementi finiti(o di Cauchy)




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Il teorema degli incrementi finiti(o di Cauchy)


Se F(x) e φ(x) sono due funzioni continue nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabili nell'intervallo aperto (a,b) e se la derivata φ'(x) non si annulla mai,allora esiste almeno un punto c di (a,b) per il quale si ha:


f(b) - f(a) / (b) - (a) = f' (c) / φ' (c)


Dimostrazione


Osserviamo innanzi tutto che (b) ≠ φ(a) per il teorema di Rolle φ' (x) dovrebbe annullarsi almeno in un punto di (a,b),contro l'ipotesi. Premesso questo,per dimostrare il teorema si introduce la funzione ausiliaria:


g(x) = f(x) - f(b) - f(a) / (b) - φ(a) [φ(x) - φ(a) ]


che soddisfa al teorema di Rolle, essendo g(a) = g(b) = 0. Per un conveniente punto c di (a,b) sarà pertanto:


g' (c) = f' (c) - f(b) - f(a) / φ(b) - φ(a) · φ' (c) = 0


e quindi:


f (b) - f (a) / (b) - (a) = f' (c) / ' (c)


















Massimi e minimi assoluti e relativi di una funzione


Incominciamo con il definire cosa si intende per massimo e minimo assoluto e per massimo e minimo relativo.


Massimi e minimi assoluti


Sia f(x) una funzione definita nell'intervallo di estremi a e b e sia x0 u punto di tale intervallo nel quale la funzione assume un valore non minore dei valori che essa assume negli altri punti dell'intervallo stesso;si dice allora che la funzione ha in x0 un massimo assoluto. Il valore f(x) si dice massimo assoluto della f(x) nell'intervallo considerato.


Analogamente:


Se la funzione assume in un punto x0 un valore non maggiore dei valori assunti negli altri punti di un intervallo cui x0 appartiene,si dice che essa ha in detto punto un minimo assoluto; il valore f(x) si dice allora minimo assoluto della f(x) nell'intervallo stesso.


Massimi e minimi relativi


Si dice invece che:

la funzione f(x) ha nel punto x0 di un intervallo un massimo relativo se esiste nell'intervallo un intorno di x0 per ogni x del quale risulti:


f(x) ≤ f(x0)


Analogamente,si dice che:


La f(x) ha nel punto x0 un minimo relativo se esiste un intorno di x0 per ogni x del quale risulti:


f(x) ≥ f(x0)





Il valore f(x0) che la f(x) assume in un punto di massimo o di minimo relativo si chiama un massimo relativo o un minimo relativo di f(x).

Il punto x0 si dice poi massimo relativo proprio o minimo relativo proprio se esiste un intorno di x0 per ogni x del quale sia rispettivamente:


f(x) < f(x0) o f(x) > f(x0)


Affinché un punto x0 sia un massimo relativo proprio[minimo relativo proprio] per la funzione f(x) è quindi sufficiente che la f(x) sia crescente[decrescente] in un intorno sinistro di x0 e decrescente[crescente] in un intorno destro di x0.








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