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Funzioni
Una funzione
( effe da A a B), è una una legge che associa
ad ogni elemento x dell’insieme A, uno ed un solo elemento y dell’insieme B. A
è detto dominio della funzione, B codominio. L’elemento f(x) (
effe di x) di B è l' immagine dell’elemento x di A. Il dominio e il
codominio possono essere anche lo stesso insieme. Siano A= e B=, la legge che
associa ad ogni città la regione di appartenenza, è una funzione. Se indichiamo
questa funzione con f, avremo: f(Como)=Lombardia, f(Genova)= Liguria ecc. Se A
e B sono sottoinsiemi, non necessariamente propri, dell'insieme dei numeri
reali, la funzione è detta reale di varianbile reale.
In alternativa si può dare la seguente definizione di funzione reale.
Date due variabili x e y, una funzione reale di variabile reale è una legge che
associa ad ogni valore reale di x, considerato in un certo insieme numerico
detto dominio o campo di esistenza, uno ed un solo valore reale
di y. La x è detta variabile indipendente , la y variabile dipendente
.
Una funzione si indica con la scrittura y=f(x) e si legge “ y uguale effe di
x”. Il dominio è l’insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile
x per ricavare la y.Un esempio di funzione è la legge che ci fa determinare il
costo y di una certa quantità di frutta x, sapendo che un kg costa 2 €:
y=2x
In questo modo un kg di frutta costa due euro,
cioè due
kg costano 4 €, e
così via. Per indicare il valore, ad esempio, corrispondente ad 1 si usa la
scrittura f(1) e si legge “effe di uno”. Nella funzione y=2x, f(1)=2, f(2)=4,
f(3)=6 ecc.
Le funzioni reali si suddividono in algebriche e trascendenti .
Le algebriche sono quelle funzioni nelle quali si passa dal valore della x a
quello della y tramite operazioni algebriche ( addizioni, sottrazioni,
moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici). Nelle trascendenti compaiono
logaritmi, funzioni goniometriche, esponenziali ecc. Le funzioni algebriche a
loro volta si suddividono in razionali intere, razionali fratte e
irrazionali. Le funzioni razionali intere sono quelle nelle quali
compaiono le operazioni algebriche escluse la divisione e la radice . Un
esempio è:
y= .
Funzioni di questo genere sono definite per ogni valore reale di x in quanto le operazioni che occorre svolgere per determinare il valore della y, noto quello della x, sono sempre possibili. In altri termini, la potenza, il prodotto, l’addizione e la sottrazione si possono eseguire su tutti i numeri reali. Il dominio, quindi, delle funzioni razionali intere è costituito dall’insieme R di tutti i numeri reali. Le funzioni razionali fratte sono quelle che hanno la variabile indipendente al denominatore. Funzioni di questo tipo sono definite per tutti i valori reali di x esclusi quelli che annullano il denominatore. Infatti nell’insieme dei numeri reali la divisione per lo zero non è possibile. La funzione
è definita per ,
alla variabile x non si può attribuire il valore 1 perché in tal caso il
denominatore diventa nullo. Un altro modo di indicare il dominio della suddetta
funzione è : .
Le funzioni irrazionali sono quelle nelle quali la variabile indipendente
compare sotto il segno di radice,e, quando l’indice è pari sono definite per i
valori reali che rendono il radicando positivo o nullo. Un esempio è dato dalla
funzione .
In questo caso il dominio è costituito dai valori reali di x, tali che, ,
che si ottengono risolvendo la disequazione 3x-4
.
ln(x+1) è definita pero x>-1 in quanto il logaritmo in base e esiste solo
quando l'argomento è positivo.
Una funzione si dice pari o simmetrica rispetto all'asse delle y se
per ogni x del suo dominio risulta:
f(x)=f(-x)
è dispari o simmetrica rispetto all'origine se per ogni x del suo dominio risulta:
f(x)=-f(-x)
è
un esempio di funzione pari.
(
dispari)
(nè
pari nè dispari)
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