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Equazioni Differenziali Del 2° Ordine
Omogenee -
ay + by + cy = 0
Equazione caratteristica: al +bl +c = 0
Tramite la seguente formula si trovano l e l -b (b2 - 4ac) / 2a
A seconda del valore del D (b2 - 4ac) il risultato sarà il seguente:
- Non Omogenee -
ay + by + cy = d(x)
Integrale generale = integrale generale della omogenea associata + un integrale particolare della non omogenea
A seconda del tipo di d(x) si procede nei seguenti modi:
Naturalmente se dovesse mancare il polinomio, eax va considerato come se fosse moltiplicato per un polinomio di grado zero (una costante K) quindi la soluzione particolare avrà la forma A eax se a non è soluzione dell'equazione caratteristica,altrimenti il polinomio va moltiplicato per x o x2 a seconda dei casi sopra elencati.
particolare ha la stessa forma a meno che a bi non è soluzione della
caratteristica altrimenti occorre moltiplicare tutto per x.
se la d(x) ha, per esempio, la forma d(x) = x + ex + senx non si ricade nei casi precedenti, ma scomponendola in tre parti(in questo caso) si ottiene la soluzione particolare sommando alla soluzione generale Y1,Y2 e Y3.
Y1(x) = Ax + B
Y2(x) = Cex (oppure Cex x se il coeficente di ex coincide con l ; oppure Cex x2 se il coeficente di ex coincide con l s l
Y3(x) = Dcosx + Esinx
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