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Equazioni Differenziali Del 2° Ordine




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Equazioni Differenziali Del 2° Ordine


Omogenee -


ay + by + cy = 0


Equazione caratteristica: al +bl +c = 0                             

Tramite la seguente formula si trovano l e l -b (b2 - 4ac) / 2a

A seconda del valore del D (b2 - 4ac)  il risultato sarà il seguente:

  1. l l D> Y = C1el1x  + C2el2x 
  2. l l D Y = C1el1x  + C2xel1x  = el1x  (C1+C2x)
  3. l a bi               D< Y = eax  (C1cosbx+C2senbx)

- Non Omogenee -

ay + by + cy = d(x)

Integrale generale = integrale generale della omogenea associata + un integrale particolare della non omogenea

A seconda del tipo di d(x) si procede nei seguenti modi:

  1. Se d(x) è un polinomio di grado n allora anche l'integrale particolare è un polinomio di grado n se C 0 altrimenti di grado n+1
  2. Se d(x) ha la forma eax P(n)(x) l'integrale particolare è del tipo eax P(n)(x) se a non è radice dell' equazione caratteristica; se a è soluzione dell'equazione caratteristica allora l'integrale particolare avrà la forma    x eax P(n)(x); infine se a è soluzione doppia dell'equazione caratteristica (D l'integrale particolare avrà la forma x2 eax P(n)(x)

Naturalmente se dovesse mancare il polinomio, eax va considerato come se fosse moltiplicato per un polinomio di grado zero (una costante K) quindi la soluzione particolare avrà la forma A eax se a non è soluzione dell'equazione caratteristica,altrimenti il polinomio va moltiplicato per x o x2 a seconda dei casi sopra elencati.

  1. Se d(x) ha la forma eax [ A(n) (x)cosbx + B(n) (x)senbx ] l'integrale

particolare ha la stessa forma a meno che a bi non è soluzione della

caratteristica altrimenti occorre moltiplicare tutto per x.

  1. Principio della sovrapposizione degli effetti:

se la d(x) ha, per esempio, la forma d(x) = x + ex + senx    non si ricade nei casi precedenti, ma scomponendola in tre parti(in questo caso) si ottiene la soluzione particolare sommando alla soluzione generale Y1,Y2 e Y3.

Y1(x) = Ax + B

Y2(x) = Cex (oppure Cex x se il coeficente di ex coincide con l ; oppure Cex      x2 se il coeficente di ex coincide con l s l

Y3(x) = Dcosx + Esinx


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