Criteri di convergenza

Per stabilire se una serie sia convergente o meno è necessario adottare un qualche metodo, e ne esistono in verità parecchi; enunceremo nel seguito i più semplici, senza pretesa di esaurire la materia. Ricordiamo che condizione necessaria ma non sufficiente perchè la serie converga è che il termine generico uk sia infinitesimo quando k tende all'infinito. Stabiliremo per semplicità dei criteri di convergenza per le serie a termini positivi, tali cioè che per ogni valore di k si ha uk >0.

I) Criterio del confronto: se ciascun termine di una serie uk a termini positivi risulta, da un certo indice in poi, non superiore al corrispondente termine di una serie vk convergente, allora la serie è convergente. Si tratta di un criterio pratico che tuttavia richiede la conoscenza di un'altra opportuna serie convergente, per esempio una serie geometrica.

II) Criterio di Cauchy: se il generico termine di una serie uk a termini positivi verifica, a partire da un determinato valore di k, la disuguaglianza

Rad(uk) =< q < 1

dove q non dipende da k, allora la serie è convergente.

III) Criterio di D'Alembert: se il rapporto tra un termine di una serie e il termine precedente verifica, a partire da un determinato valore di k, la disuguaglianza

uk/u(k-1) =< q < 1

dove q non dipende da k, allora la serie è convergente.

In pratica i criteri II e III permettono di valutare la convergenza calcolando il limite per k che tende all'infinito rispettivamente dei due termini

Rad(uk) oppure uk/u(k-1)

se tale limite esiste ed è pari ad un numero p < 1 allora la serie converge; se il limite esiste ed è pari ad un numero p > 1 la serie diverge; il caso p=1 rimane dubbio.