Differenziale di una funzione

Differenziale di una funzione

Sia data una funzione y = f(x) continua e derivabile nell'intervallo chiuso e limitato [a ; b] e sia x un generico punto dell'intervallo.

Diamo ad x un incremento x = h passando così da x ad x+h. Di conseguenza anche l'ordinata subirà una variazione passando da f(x) a f(x+h). La funzione avrà dunque un incremento y = f(x+h) - f(x).

Secondo quanto detto accadrà che

Calcoliamo anche

che non è altro che la derivata prima di f(x).

Potremo perciò scrivere

Ma questa scritta sopra, ricordando la scrittura fuori dal limite, può essere riscritta come

se è valida la seguente condizione  

Moltiplicando la (1) per x otterremo

L'espressione si indica con df(x) o dy e prende il nome di differenziale.

Per definizione il differenziale della funzione relativo al punto x e all'incremento x è  il prodotto della derivata f '(x) per l'incremento x. Cioé:

df(x) = dy = f ' (x) Dx