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Derivate delle funzioni trigonometriche inverse




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DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE


Vogliamo ora calcolare la derivata della funzione arcsin. Ricordiamo che si tratta dell'inverso della funzione seno rispetto all'intervallo per cui risulta con e .

Vogliamo provare che:

1)

Sia e tale che si ha:


Osservazioni


Si noti che il procedimento è lecito perché:

La funzione seno è continua e strettamente crescente in

La funzione seno(di cui arcoseno è l'inversa) è derivabile con derivata maggiore di zero in .

Si noti anche che dal calcolo effettuato risulta (*)

Essendo possiamo affermare che la derivata della funzione arcoseno(inversa della funzione seno) in un punto è uguale alla reciproca della derivata della funzione seno calcolata nel punto, corrispondente di mediante il seno, e cioè nel punto tale che .

Il risultato espresso dalla formula (*) vale in generale. Sussiste infatti il seguente


Teorema di derivazione delle funzioni inverse


Sia f(x) una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo I. V.s.i.



In maniera analoga, oppure anche utilizzando il teorema di derivazione delle funzioni inverse si dimostra la D arcos y e la D arctg y (vedi fotocopie pag12)


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