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DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE
Vogliamo ora calcolare la derivata della funzione arcsin. Ricordiamo che si tratta dell'inverso della funzione seno rispetto all'intervallo per cui risulta con e .
Vogliamo provare che:
1)
Sia e tale che si ha:
Osservazioni
Si noti che il procedimento è lecito perché:
La funzione seno è continua e strettamente crescente in
La funzione seno(di cui arcoseno è l'inversa) è derivabile con derivata maggiore di zero in .
Si noti anche che dal calcolo effettuato risulta (*)
Essendo possiamo affermare che la derivata della funzione arcoseno(inversa della funzione seno) in un punto è uguale alla reciproca della derivata della funzione seno calcolata nel punto, corrispondente di mediante il seno, e cioè nel punto tale che .
Il risultato espresso dalla formula (*) vale in generale. Sussiste infatti il seguente
Teorema di derivazione delle funzioni inverse
Sia f(x) una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo I. V.s.i.
In maniera
analoga, oppure anche utilizzando il teorema di derivazione delle funzioni
inverse si dimostra
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