Il linguaggio matematico nella fisica: analisi dei circuiti rl e del decadimento radioattivo

Il linguaggio matematico nella Fisica: analisi dei circuiti rl e del decadimento radioattivo

Se lo studio dei fenomeni biologici, pur non avvalendosi - almeno per quanto ne so − in larga misura di strumenti matematici complessi ed astratti come quelli dell'Analisi, dimostra tuttavia (come si è potuto capire nei precedenti paragrafi) di trovare un valido ausilio nell'utilizzo di derivate e integrali, questo risulta ancora più evidente quando si va ad esaminare il ruolo fondamentale del linguaggio matematico in quella che, secondo la mia modesta opinione personale, costituisce la scienza sperimentale più "matematizzata": vale a dire la Fisica.

Nei successivi paragrafi analizzeremo pertanto da un punto di vista matematico le dinamiche di alcuni fenomeni fisici, come ad esempio quelli elettromagnetici relativi ai circuiti RL, e quello riguardante il decadimento naturale delle sostanze radioattive.                

1. I circuiti RL: extracorrenti di chiusura e di apertura

Il circuito RL è un tipo di circuito elettrico costituito da un interruttore I (che apre o chiude il circuito, permettendo o interrompendo così il passaggio di corrente in esso), da una resistenza R (caratteristica del circuito che indica la resistenza opposta dal conduttore nei confronti del transito degli elettroni), da un'induttanza L (anch'essa una caratteristica del circuito, che esprime la tendenza del circuito stesso a generare, in condizioni di intensità di corrente variabile nel tempo, una f.e.m. e una corrente autoindotta tali da opporsi alla variazione dell'intensità di corrente stessa) e alimentato da un generatore erogante una f.e.m. costante f_g.

Nel caso di un circuito nel quale sia assente l'induttore, alla chiusura del circuito si produce istantaneamente una corrente di intensità i = in virtù della prima legge di Ohm; questa corrente si mantiene in seguito costante fino al momento dell'apertura del circuito, nel quale, sempre istantaneamente, l'intensità di corrente si riduce a zero.       

La presenza dell'induttanza, con il suo tipico fenomeno di autoinduzione elettromagnetica, influisce non poco sui valori dell'intensità di corrente poc'anzi determinati, soprattutto per quanto riguarda gli istanti immediatamente successivi alla chiusura e all'apertura del circuito RL.

Infatti, prendendo in esame i momenti successivi alla chiusura del circuito, la corrente deve passare dal valore i=0 A al valore di regime i= ; in questi istanti, nei quali la corrente del circuito varia, si produce una variazione nel tempo del flusso del campo magnetico autoconcatenato con il circuito, la quale si traduce quindi nella già accennata f.e.m autoindotta, esplicitata matematicamente attraverso la legge di Faraday-Neumann-Lenz: (si noti, ancora una volta, l'efficace utilizzo dell'operatore derivata per indicare, come al solito, variazioni infinitesime di determinate grandezze nel tempo). Il segno - della legge di Faraday-Neumann-Lenz costituisce la traduzione, nell'astratta lingua matematica, della concreta opposizione della forza elettromotrice autoindotta nei confronti della variazione nel tempo del flusso del campo magnetico autoconcatenato col circuito. Data, inoltre, la corrispondenza tra variazione del flusso autoconcatenato e variazione dell'intensità di corrente che percorre il circuito, espressa dalla relazione (dalla quale risulta evidente il ruolo dell'induttanza L all'interno del fenomeno di autoinduzione), la f.e.m autoindotta può anche venire espressa come: −. Da questa equazione si rende dunque chiara la funzione dell'induttanza, che ostacola, dopo la chiusura del circuito RL, il raggiungimento dell'intensità di regime.

Dopo avere esplicato il ruolo e gli effetti dell'elemento induttore nel circuito RL, vediamo di analizzare, con i noti strumenti dell'Analisi, l'andamento dell'intensità di corrente in funzione del tempo t successivo alla chiusura del circuito.

Sappiamo dalla prima legge di Ohm che la differenza di potenziale relativa ad un circuito è pari al prodotto tra la resistenza R esistente nel circuito e l'intensità i di corrente che percorre il circuito; nel nostro caso, la differenza di potenziale relativa al circuito RL è data dalla somma algebrica tra la forza elettromotrice costante erogata dal generatore e la forza elettromotrice autoindotta per effetto della presenza dell'induttore L. Perciò si può costruire la seguente equazione differenziale:

Ora, con l'ausilio del calcolo integrale, risolveremo questa equazione, allo scopo di determinare l'espressione matematica della funzione i(t).

Sfruttando i principi di equivalenza delle equazioni, dall'equazione originaria otteniamo­: , da cui si ottiene . Con un artificio, dato che f_g e R sono due costanti, l'incremento infinitesimo di può essere equivalentemente scritto come . Quindi si ha: , da cui si arriva all'espressione .

Da qui integriamo indefinitamente i due membri dell'equazione:  , ottenendo come risultato l'espressione . Utilizzando poi le proprietà delle potenze, l'identità e ponendo , l'ultima espressione può essere riscritta nella forma seguente: , da cui, risolvendo rispetto a i, segue che . Per determinare il valore del parametro k riferito al caso che stiamo esaminando, assumiamo come istante iniziale t₀ = 0 s l'istante di chiusura del circuito RL; ovviamente in questo istante la corrente avrà un'intensità i(t₀) nulla, pertanto, sostituendo questi valori nell'ultima espressione otteniamo: , da cui si ricava che k = f_g e che quindi l'intensità di corrente in funzione del tempo risulta essere . Questa relazione matematica può anche essere scritta come , con la sostituzione t, dove t è una costante propria del circuito e avente le dimensioni di un tempo, denominata costante di tempo del circuito. 

Raggiunto l'obiettivo di determinare l'espressione matematica dell'intensità di corrente totale in funzione del tempo, soffermiamoci ad analizzarne il significato fisico. 

Osserviamo che l'espressione i(t) è costituita dalla differenza tra l'intensità di corrente di regime e l'intensità di corrente , che costituisce proprio la corrente generata dalla f.e.m autoindotta a causa della presenza dell'elemento induttore L e che viene detta extracorrente di chiusura del circuito. Precisiamo che l'espressione matematica dell'extracorrente di chiusura corrisponde perfettamente a quanto detto all'inizio del paragrafo a proposito dei vari elementi del circuito RL; analizzandola attentamente, si nota che il valore dell'extracorrente aumenta all'aumentare della forza elettromotrice erogata dal generatore (infatti con essa aumenta anche il valore dell'intensità di corrente di regime e conseguentemente aumenta anche la f.e.m autoindotta che si oppone alla variazione di corrente stessa), nonché, ovviamente, all'aumentare del valore del coefficiente di autoinduzione L dell'elemento induttore (che è la causa stessa dell'extracorrente di chiusura). L'intensità dell'extracorrente di chiusura diminuisce invece all'aumentare del valore della resistenza R (che per definizione si oppone al passaggio di ogni tipo di corrente nel circuito) e all'aumentare del tempo t; infatti, per tempi uguali o superiori a tre o quattro volte la costante di tempo t del circuito, il contributo dato dall'extracorrente di chiusura diminuisce in misura tale da poter essere considerato trascurabile rispetto all'intensità della corrente di regime, la quale rappresenta pertanto il valore finalmente raggiunto dalla corrente i(t).

L'andamento decrescente dell'extracorrente di chiusura all'aumentare del tempo è visualizzabile nel sottostante grafico (dove con I_L(t) è indicata l'intensità dell'extracorrente e dove l'unità di misura del tempo è la costante di tempo t).

Il valore raggiunto da i(t) al termine della fase immediatamente successiva alla chiusura del circuito (nella quale, come abbiamo visto, l'extracorrente di chiusura contribuisce in maniera non trascurabile a rendere per pochi istanti di tempo lontana la corrente i(t) dall'intensità di regime) si mantiene costante negli istanti successivi, fino alla apertura del circuito, momento nel quale la corrente totale inizia a decrescere per poi annullarsi. Analogamente a quanto detto a proposito della chiusura del circuito, questa decrescita non è istantanea, a causa della presenza dell'elemento induttore L che ostacola la nuova variazione dell'intensità di corrente; l'elemento induttore L produce infatti per autoinduzione una f.e.m, la quale è responsabile della generazione di una nuova corrente indotta, che viene denominata extracorrente di apertura del circuito e che con la sua presenza si oppone all'annullamento dell'intensità di corrente totale in transito nel circuito.

L'espressione matematica dell'extracorrente di apertura può essere determinata, analogamente alla precedente extracorrente di chiusura, a partire dalla stessa equazione differenziale prima utilizzata: , con la differenza che, essendo ora il circuito aperto, il contributo dato dal generatore in termini di forza elettromotrice è nullo, e pertanto, l'equazione può essere riscritta come , da cui si ottiene . Da qui, integrando entrambi i membri si ha:   , cioè: . Da qui, eseguendo ora passaggi matematici analoghi a quelli effettuati per la determinazione dell'espressione dell'extracorrente di chiusura, si ottiene la seguente espressione: , dove si è posto k = e^C. Per determinare ora l'effettivo valore assunto da k nel caso che stiamo analizzando, assumiamo come istante di tempo iniziale t₀ = 0 s quello di apertura del circuito, in corrispondenza del quale l'intensità di corrente presente nel circuito ha ancora il valore dell'intensità di corrente di regime. Imponendo dunque che l'espressione poc'anzi ottenuta soddisfi queste condizioni, si trova facilmente che è e che, quindi, sostituendo questo valore di k, l'espressione dell'extracorrente di apertura del circuito diventa: . Come si può facilmente notare, quest'espressione è la stessa di quella definente matematicamente l'extracorrente di chiusura, e pertanto le considerazioni fatte sui fattori che determinano un aumento o una diminuzione di quest'ultima valgono parimenti per l'extracorrente di apertura (inoltre, l'extracorrente di apertura presenta ovviamente un grafico esattamente identico a quello, sopra riportato, dell'extracorrente di chiusura). Proprio in virtù di queste stesse considerazioni matematiche possiamo derivare un'informazione sul comportamento di questa corrente; essa infatti, analogamente all'extracorrente di chiusura, si esaurisce dopo pochi istanti di tempo ( con t pari a tre o quattro volte la costante di tempo del circuito), e con essa si annulla ovviamente anche l'intensità totale di corrente che fluisce nel circuito aperto.

Da quanto detto nel corso di questo paragrafo, si può dunque affermare che l'analisi matematica effettuata descrive ed evidenzia in maniera perfetta tutte le principali caratteristiche del fenomeno di autoinduzione elettromagnetica, i cui effetti macroscopici (extracorrenti di chiusura e di apertura del circuito RL) risultano limitati, come si è visto, ai brevissimi istanti di tempo nei quali si produce una variazione di corrente e del flusso del campo magnetico autoconcatenato con il circuito RL.

Infine, concludiamo questo paragrafo sui circuiti RL facendo notare la presenza, nelle leggi matematiche che definiscono le extracorrenti di chiusura e apertura, del numero di Nepero e (già presente, come abbiamo visto, anche nella legge che, in Biologia, interpreta matematicamente la crescita esponenziale delle popolazioni).   

2. La legge del decadimento radioattivo

L'ultimo fenomeno di cui analizziamo quantitativamente le caratteristiche, al fine di ricavare, sempre attraverso l'Analisi, una legge matematica che le descriva e le sintetizzi efficacemente, è il cosiddetto decadimento radioattivo.

Il decadimento radioattivo è un insieme di processi attraverso i quali un nucleo atomico instabile, avente solitamente numero atomico Z e di massa A molto elevati, emette particelle subatomiche per raggiungere uno stato di stabilità. Relativamente a questo fenomeno, può essere dedotta matematicamente una legge, detta appunto legge del decadimento radioattivo, la quale indica, in funzione del tempo t e a partire da un certo numero iniziale N₀ di nuclei atomici di un elemento radioattivo, il numero N di nuclei che non sono ancora andati incontro al decadimento: l'obiettivo che ci prefiggiamo è appunto la determinazione di questa stessa legge. Precisiamo tuttavia che, a differenza delle leggi deterministiche relative ai circuiti RL, questa legge si configura come una legge di tipo probabilistico; infatti, in base ai principi della meccanica quantistica, il decadimento spontaneo di un nucleo è un processo del tutto casuale, pertanto è impossibile determinare con assoluta precisione l'istante in cui il fenomeno si verifica. Tuttavia, attraverso la legge che ora andremo a ricavare, è comunque possibile predire la probabilità che un certo numero di atomi di una data specie chimica decada radioattivamente in un ben definito intervallo di tempo.

Consideriamo, quindi, un campione radioattivo costituito da un numero N₀ molto grande di atomi. Ovviamente, il decadimento di una certa quantità di atomi provoca una decrescita, e quindi una variazione nel tempo, del numero di atomi ancora non soggetti al decadimento stesso; questa decrescita è inoltre tanto più consistente quanto maggiore è il numero N di atomi presenti all'inizio dell'intervallo di tempo preso in esame. Per questo motivo, essa è direttamente proporzionale a N secondo una costante di proporzionalità l, la quale viene denominata costante di decadimento o di disintegrazione, ed esprime, assumendo diversi valori a seconda dell'elemento radioattivo considerato, la peculiare tendenza dei nuclei dell'elemento stesso a decadere spontaneamente.

Dato inoltre che, come già osservato in precedenza, ogni variazione nel tempo di una certa grandezza y funzione del tempo t può venire espressa matematicamente come la derivata prima , la relazione di cui si è sopra discusso può essere sintetizzata dalla seguente equazione differenziale: , nella quale il segno − esprime matematicamente l'andamento decrescente nel tempo della funzione N(t).

Risolviamo l'equazione, dapprima riscrivendola nella forma . Ora, dal momento che il nostro scopo è quello di trovare una legge matematica che esprima l'andamento della funzione N(t) in un intervallo di tempo che va dall'istante iniziale t₀= 0 s (coincidente con l'inizio del decadimento) ad un istante di tempo generico t − ai quali corrispondono rispettivamente un numero di atomi non ancora decaduti pari a N₀ (numero di atomi inizialmente presenti nel campione) e a N (numero di atomi presenti all'istante generico t) −, per eliminare i due differenziali dN e dt integriamo definitamente i due membri dell'equazione rispettivamente nell'intervallo che va da N₀ a N e in quello che va da 0 a t, in questo modo: . Da qui si ottiene: , da cui: , cioè, utilizzando la nota proprietà secondo cui : , e quindi: .

Quest'ultima relazione esprime proprio la legge del decadimento radioattivo, la quale mostra che, partendo da N₀ atomi di un elemento radioattivo con costante di disintegrazione l, il numero N di atomi non ancora decaduti decresce esponenzialmente all'aumentare del tempo t (l'andamento di N(t) si può ben vedere dal grafico riportato qui sotto, dove il tempo t è stato espresso in mesi, a causa della lunga durata dei processi di decadimento naturale).

A partire da questa legge si possono definire molteplici grandezze che esplicitano determinate caratteristiche del decadimento radioattivo dei nuclei atomici di un dato elemento. Una di esse è ad esempio il cosiddetto periodo di dimezzamento T, definito come l'intervallo di tempo dopo il quale la metà degli atomi originari è decaduta e pertanto il numero degli atomi ancora presenti è pari a . Ponendo dunque e t = T nella legge del decadimento radioattivo e risolvendo rispetto a T, si ottiene che il valore di T è peculiare di ogni singola specie chimica degli atomi che decadono, in quanto dipendente dalla costante di disintegrazione l secondo la relazione: . Notiamo che, al solito, la relazione di inversa proporzionalità tra T e l è coerente con quanto detto a proposito di T e l, in quanto più è elevata la tendenza di un dato numero di atomi di un certo elemento a decadere, minore sarà, almeno in termini stocastici, il periodo di dimezzamento riferito a quello stesso elemento.

Concludiamo il discorso sul decadimento radioattivo (e con esso tutta la terza sezione sul ruolo della matematica all'interno delle scienze sperimentali) con una notevole considerazione, relativa a tutte le leggi matematiche fisiche e biologiche ricavate sin qui: vale a dire il fatto che sia la legge che definisce in funzione del tempo il numero di individui di una popolazione in crescita esponenziale, sia la legge che esplicita nel tempo l'intensità delle extracorrenti di chiusura e di apertura di un circuito RL, sia la legge del decadimento radioattivo sono tutte e tre espresse dalla medesima relazione matematica generale , dove y₀ indica sempre il valore della funzione y(t) nell'istante iniziale t₀= 0 s nel quale ha inizio il fenomeno analizzato, e k rappresenta sempre una costante denotante una caratteristica intrinseca ai corpi e ai sistemi che partecipano al fenomeno preso in esame (dal cui segno, positivo o negativo, discende il carattere crescente a +∞ o decrescente asintoticamente a zero della funzione y(t) al tendere di t a +∞).

Prova di questa perfetta corrispondenza è anche la similarità, a meno del significato fisico, dei grafici esprimenti l'andamento in funzione del tempo delle extracorrenti i di apertura e chiusura e del numero N di atomi non ancora decaduti.

Notiamo inoltre, ancora una volta, la costante presenza del numero di Nepero e in tutte le suddette leggi; presenza che, seppure sbalorditiva (la definizione del numero irrazionale e come limite notevole della funzione per x tendente a ± ∞ sembra infatti farlo appartenere più al trascendente mondo matematico che all'immanente mondo naturale) , può essere agevolmente spiegata se viene riconosciuta la forma in tutte le equazioni differenziali che abbiamo risolto per ricavare le tre leggi; quest'ultima rappresenta infatti, per le note proprietà di derivate ed integrali, un'espressione notevolmente integrabile in ln |x| +C (dove ln è appunto la funzione logaritmo avente per base il numero di Nepero).

Queste interessanti considerazioni suscitano quindi tre riflessioni molto importanti, con cui termina la terza e ultima sezione di questa tesina:

la matematica, e in particolare quella parte della matematica che è l'Analisi, riesce a descrivere e a predire con inaudita precisione tutte le caratteristiche dell'evolversi nel tempo dei sistemi naturali studiati dalle varie scienze sperimentali;

la matematica si rivela, a dispetto delle apparenze, incredibilmente utile per la descrizione del mondo fisico anche nelle sue parti più astratte e lontane, almeno a prima vista, dalla realtà;

la matematica, configurandosi come linguaggio universale delle scienze sperimentali, riesce, applicando i medesimi strumenti all'analisi di fenomeni apparentemente distanti tra loro, a far cogliere allo scienziato la legge comune che lega tra loro i suddetti fenomeni, aiutandolo così a seguire la strada ideale, mai percorribile fino in fondo, che porta l'uomo ad una conoscenza semplice (in termini di quantità di informazioni e strumenti da utilizzare), coerente ed onnicomprensiva dei meccanismi della Natura.           

Bibliografia:

N. Abbagnano - G. Fornero, Protagonisti e testi della filosofia, Paravia, 2002, tomi B1, B2, D1

M. Bergamini - A. Trifone - D. Neri - R. Tazzioli, Le geometrie non euclidee e i fondamenti della matematica, Zanichelli, 2003

F. Berto, Tutti pazzi per Gödel! La guida completa al teorema d'incompletezza, Laterza, 2008

A. Caforio - A. Ferilli, Fisica, Le Monnier, 2006, vol. 3

N. A. Campbell - L. G. Mitchell - J. B. Reece, Immagini della Biologia, Zanichelli, 2002, tomo D

C. Cellucci, La filosofia della matematica del Novecento, Laterza, 2007

K. Devlin, Il linguaggio della matematica . Rendere visibile l'invisibile, Bollati Boringhieri, 2002

N. Dodero - P. Baroncini - R. Manfredi, Lineamenti di analisi e calcolo combinatorio, Ghisetti e Corvi, 2007

M. Fabbrichesi, Pensare in formule. Newton, Einstein e Heisenberg, Bollati Boringhieri, 2004

G. Lolli, QED. Fenomenologia della dimostrazione, Bollati Boringhieri, 2005.

Sitografia:

https:// www.wikipedia.it

https:// www.cartesio-episteme.net/mat/disav1.doc

https:// www.cpdm.unina.it/funfen/funz_esp/decadim1.jpg

https:// xoomer.alice.it/cyrano2510/crescita_popol.gif