Derivata

DERIVATA

( Dal latino : derivare = de - da , rivus -- ruscello , quindi creare un nuovo corso )

In analisi la derivata è una funzione dedotta in un modo ben definito da un' altra funzione . Per definire in concetto di derivata bisogna prima seguire uno schema :

Si fissa il concetto di incremento , ad esempio positivo ( detto

destro ) di una grandezza variabile X .

Se per esempio abbiamo una grandezza X_o , questa subirà un incremento per passare alla grandezza X = X_o + ΔX .

(es. 4 è la grandezza , 2 è l' incremento , la grandezza che si ottiene è 6 = 4 + 2)

Se la grandezza variabile X , detta indipendente , è legata ad un'

altra grandezza Y , detta dipendente , mediante la funzione Y = f(X)

, ad ogni incremento ΔX della X anche la Y subirà una variazione ΔY

( passando da f(X_o) a f(X_o + ΔX) ).

Dunque ΔY = f(X_o + ΔX) - f(X_o) e ΔX = X - X_o

3) Il rapporto    ΔY = f(X_o + ΔX) - f(X_o)

ΔX X - X_o

è detto rapporto incrementale destro ( se ΔX è positivo ) o sinistro ( se ΔX è negativo ).

Facendo tendere ΔX a zero, tale rapporto tende ad un valore limite

quando esiste, ben determinato, ancora in funzione di X , che si

dice derivata della funzione Y = f(X) nel punto X_o , e che si indica con i seguenti simboli :

f ' ( X ) , Y ' , df , dy

dx dx

e si legge : derivata della funzione f(X) o Y rispetto a X.

Dunque :

f' (X_o) = lim _ΔX->0    ΔY = f(X_o + ΔX) - f(X_o)

ΔX X - X_o

REGOLE PRATICHE

Fino ad ora potrebbe sembrare che il calcolo delle derivate sia legato alla risoluzione di mostruosi limiti di funzioni algebriche. Per fortuna esistono piccole regole che, una volta imparate, ci permettono un rapido calcolo delle più comuni funzioni che potrai incontrare.

Fino ad ora dovrebbe esser chiaro che la derivata permetta la trasformazione di una funzione di partenza in un' altra .

Es. la derivata di

È semplicemente :

Come ho fatto ?

Praticamente devi prendere l' esponente delle lettere e moltiplicarlo per il loro coefficiente. L' esponente della lettera sarà quindi diminuito di un' unità.

Quindi nella prima equazione , l' esponente del primo termine è 3 , il coefficiente è 1 , 3 x 1 = 3 ; l' esponente da 3 diventa 2 nella 2° equazione .

Sempre nella prima equazione nel secondo termine il coefficiente è 4

e l' esponente è 2 , quindi 4 x 2 =8 ; l' esponente da 2 diventa 1 nella 2° equazione .

N:B: La derivata di una costante è sempre 0.

Per costante si identifica una lettera che non è X ( per esempio una

Altra lettera o un numero )

Altre derivate :

Derivata del prodotto di una costante per una funzione :

d (   A f(x) ) =A f'(X)

dx

E' uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione

Derivata di una somma :

d ( f(x) + g(x) ) = f'(X) + g'(X)

dx

La derivata di una somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate delle funzioni stesse

Derivata di un prodotto

d ( f(x) . g(x) ) = f'(X) g(X) + f( X) g'(X)

dx

La derivata di un prodotto è uguale alla somma del prodotto della prima funzione derivata per la seconda non derivata e della prima non derivata per la seconda derivata.

Derivata di un quoziente :

d ( f(x) / g(x) ) = f'(X) g(X) - f( X) g'(X)

dx g(X)²

La derivata di un quoziente è uguale alla differenza del prodotto della prima funzione derivata per la seconda non derivata e della prima non derivata per la seconda derivata diviso il quadrato della seconda funzione non derivata .

Significato geometrico di una derivata

La derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto. Questo a sua volta è uguale alla tangente trigonometrica dell' angolo che forma con l' asse

delle X. ( vedi fig. 1)

Fig. 1

Ricorda che se la funzione è derivabile in un punto , allora il quel punto la funzione è continua. ( condizione necessaria ma non sufficiente ) . Questo vuol dire che vi sono punti in cui la funzione è

Continua ma in cui non esiste la derivata ( la funzione non accetta limiti )

Tabella

Derivate

Dc = 0

Funzione potenza

D x = 1

Funzioni goniometriche

D senx = cosx D cosx = -senx

Funzione logaritmica

Funzione esponenziale

D a^x = a^x ln a   D e^x = e^x

Inverse delle funzioni goniometriche

Funzioni iperboliche

D shx = chx    D chx = shx

Regole di derivazione

D f[g(x)] = f'[g(x)] g'(x)] ;        ; ;

; ;