Dall'osservazione della realtÀ al modello

DALL'OSSERVAZIONE DELLA REALTÀ AL MODELLO

Frattali presenti in natura

Un esempio semplice ed immediato di frattale presente in natura è la felce. Salta subito all'occhio che essa è dotata di autosimilarità, caratteristica principale dei frattali secondo cui una parte dell'insieme è simile al tutto.

In figura, viene considerata una porzione sempre più piccola della felce (in particolare sono evidenziati con colori diversi i primi tre passaggi), la quale rispetta sempre la proprietà sopra citata.

Figura confronto dei modelli frattali su una felce.

Come trovare le trasformazioni che originano i frattali

Cerchiamo ora di risolvere il seguente problema, molto importante nello studio della geometria frattale: come si possono ricavare le trasformazioni che generano un certo frattale a partire dal risultato finale?

Qui mi limiterò ad illustrare il procedimento, noto come teorema di Barnsley, da un punto di vista molto elementare presentando un esempio significativo.

Consideriamo ad esempio la Scatola frattale (figura 5). Poiché tale figura è un frattale, ha una struttura autosimile. Questo vuol dire che contiene tantissime copie di se stessa. Cerchiamo il minimo numero di copie del frattale che ci permetta di comprenderlo tutto. Devono essere ricoperti tutti i punti del frattale e ciascun punto deve essere scelto una sola volta. In altre parole, è come se dovessimo ricoprire il frattale con tante copie del frattale stesso. Le copie sono 5 (figura 5).

Figura applicazione grafica del Teorema di Barnsley su una Scatola frattale

Ora cerchiamo le trasformazioni geometriche che, applicate al frattale, lo trasformano nelle cinque copie che ho individuato. Abbiamo cinque copie e di conseguenza cerchiamo cinque trasformazioni. Si tratta di cinque omotetie[1] di ragione 1/3 poiché la figura diventa un terzo di quella iniziale. Poi occorre comporle con opportune traslazioni . Per ottenere un'espressione analitica delle trasformazioni, occorre fissare un opportuno sistema di riferimento. Per semplicità supponiamo che il frattale sia costruito dentro il quadrato di lato L (il lato della scatola frattale) e l'origine sia posta nell'angolo a sinistra in basso.

Per ottenere la Scatola frattale basta usare le seguenti cinque trasformazioni:

Si noti che tutte le trasformazioni sono omotetie di ragione 1/3, composte con opportune traslazioni.

Naturalmente, più il frattale sarà complesso, maggiore risulterà il numero delle trasformazioni necessarie.

Le trasformazioni geometriche caratterizzano il frattale

Proviamo ora ad applicare le stesse trasformazioni ad insiemi differenti.

Nell'esempio sotto riportato abbiamo due insiemi di partenza molto diversi: il primo è una figura mentre il secondo è una scritta.

Le tre trasformazioni applicate sono composte da un'omotetia e da una traslazione.  

Possiamo notare che i risultati finali, già con un breve numero di iterazioni (4), assumono un aspetto molto simile.

Da ciò possiamo dunque osservare che non è l'insieme iniziale a determinare l'aspetto macroscopico della figura, ma l'insieme delle trasformazioni, a cui l'insieme iniziale viene sottoposto nelle varie iterazioni.

Le trasformazioni sopra usate infatti sono caratteristiche di un frattale molto famoso: il triangolo di Sierpinski (in figura 6).

Figura Triangolo di Sierpinski ottenuto dall'insieme di partenza consistente in un quadrato.

Le trasformazioni però al contempo conservano le caratteristiche dell'insieme di partenza, che possono rivelarsi fondamentali per quello finale (le case rimangono differenti dalle scritte). Le trasformazioni del frattale in figura 6 sono le seguenti: