Curve piane

Tra tutte le curve immaginabili quella più semplice è sicuramente la retta, anzi essa è talmente semplice che per alcuni non è neanche considerata una curva, si crede che ne sia l'esatto opposto! In matematica invece la retta è semplicemente una curva particolare, precisamente è quella curva che è definita come la curva più corta che unisce due punti. Della retta si potrebbero dire molte cose, vediamone alcune; è evidente che per un punto passano infinite rette, ma per due punti non coincidenti ne passa una sola, mentre per tre o più punti non coincidenti potrebbe non passarne nessuna, solo in certi casi può passare una retta. Una retta è costituita da infiniti punti, ed essa stessa è infinita da entrambe le parti. Esistono poi coppi particolari di rette, quelle parallele, cioè che non si incontrano mai e quelle perpendicolari, cioè che dividono il piano in quattro parti uguali. Le rette coincidenti sono invece quella rette che appunto coincidono. Si vede subito che due rette non possono mai, se non sono coincidenti, avere più di un punto in comune, in questo caso si dicono incidenti.

CONICHE

Passiamo ora a vedere una famiglia (una famiglia di curve comprende tutte le curve che hanno delle determinate caratteristiche) di curve leggermente più complessa della retta, ma sicuramente molto più interessante, le così dette coniche o curve di secondo ordine. Queste curve sono dette del secondo ordine perché nella geometria analitica sono tutte scrivibili come equazioni di secondo grado. Vediamo ora perché sono dette sezioni coniche, per prima cosa definiamo che cosa sia un cono; immaginiamo di avere due rette incidenti e tenerne ferma una e di di fare ruotare l'altra attorno al punto di contatto delle due rette: otterremo un solido infinito che ha l'aspetto di due coni uguali (così come si intende un cono nel senso comune) prolungati all'infinito attaccati per il vertice.

Adesso passiamo allo studio di queste curve, dette più precisamente sezioni coniche, infatti pensiamo al cono di prima e immaginiamo che un piano perpendicolare a esso lo tagli ha una certa altezza, non nel vertice (in questo caso avremmo un punto, che è una circonferenza particolare detta degenere), la sezione, cioè la parte del piano che sta 'dentro' al cono sarà un cerchio, e il perimetro di questa figura prende il nome di circonferenza. Questa figura ha moltissime proprietà, ed è di fondamentale importanza in matematica, essa è il luogo geometrico dei punti del piano (cioè l'insieme dei punti che stanno tutti su uno stesso piano, si dice anche che sono complanari) equidistanti da un punto fisso detto centro della circonferenza, questa distanza è detta raggio e il rapporto tra la semicirconferenza e il raggio da l'importantissimo p, uguali a circa 3.1415 (se sei interessato puoi scaricare qui le prime 20.000 cifre di p in formato word zippato, clicca con il tasto destro e poi su salva oggetto con nome).

Se invece di considerare un piano perpendicolare al piano pensiamo a un piano inclinato, ma meno della retta che ha generato il cono, otteniamo una figura simile alla circonferenza, solo che è più allungata, o più schiacciata, l'ellisse, di cui la circonferenza non è che un caso particolare, dove i due fuochi coincidono nel centro, vediamo cosa sono i fuochi dell'ellisse, l'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi, è facile capire che nella circonferenza questo è vero se accettiamo che i due fuochi coincidano nel centro

Vediamo ora delle belle proprietà di queste due curve, dette proprietà di riflessione, se abbiamo uno specchio circolare e mandiamo un raggio di luce verso lo specchio, dal centro esso torna esattamente indietro, questo si traduce nel dire che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza; anche questa proprietà non è che un caso particolare di un'analoga proprietà dell'ellisse, se consideriamo uno specchio ellittico e mandiamo un fascio di luce da un fuoco verso lo specchio esso viene riflesso esattamente nell'altro fuoco.

Vediamo ora un'altra conica, sempre considerando il cono e il piano adesso incliniamo il piano come la retta generatrice

 e otteniamo una curva che ha una nuova caratteristica rispetto alle due studiate fin'ora: si estende all'infinito, questa curva è chiamata  parabola ed è definita così è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

La parabola può essere pensata anche in altri modi, per esempio come un'ellisse 'tirata' all'infinito tenendo fisso uno dei fuochi, infatti nella parabola ritroviamo un fuoco, ma l'altro no, in questo caso si dice che è andato all'infinito, ma non approfondiremo quest'argomento, non daremo cioè una giustificazione del fatto che il fuoco sia andato all'infinito, sarebbe più semplice infatti pensare che la parabola sia semplicemente una curva di tipo diverso, con un fuoco solo. Ma esaminiamo la sua proprietà di riflessione se consideriamo uno specchio parabolico e mandiamo un raggio di luce in direzione parallela all'asse di simmetria della curva esso viene esattamente riflesso nel fuoco, ora pensiamo ad un'ellisse sempre più allungata ma con un fuoco fermo, il raggio di luce proveniente dal fuoco che si muove si avvicinerà sempre di più all'asse di simmetria della curva, anche se non lo raggiungerà mai, a meno che il fuoco non vada all'infinito, questo può dare una giustificazione intuitiva del perché la parabola può essere intesa come un'ellisse (e quindi anche come una circonferenza) 'stirata' all'infinito, ma con un fuoco fisso.

Passiamo ora a esaminare l'ultima tra le coniche, l'iperbole, che è anche la più complessa di tutte. Consideriamo il solito piano, ma stavolta lo incliniamo ancore di più che la retta generatrice, la curva ottenuta, oltre ad estendersi all'infinito, presenta una nuova proprietà: è formata da due rami staccati fra loro.

L'iperbole può essere definita come il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Non tratterò qui le analogie di questa curva con le altre coniche, dato che sono abbastanza complesse, ma vediamo la proprietà di riflessione di questa curva. Considerando uno specchi iperbolico (bisogna considerare entrambi i rami dell'iperbole) emettiamo da uno dei due fuochi un raggio di luce, il suo riflesso starà sulla congiungente l'altro fuoco con il punto di riflessione.

Descrivo ora una brevemente una bella proprietà delle coniche, tutte le orbite che un oggetto può descrivere nello spazio intorno a un altro oggetto (per esempio un satellite intorno alla Terra) sono sempre delle coniche, così come le traiettorie di oggetti lanciati dalla terra, che sono sempre delle parabole.

LA CICLOIDE

La cicloide è una curva molto bella perché non è una curva elementare, ma non è neanche molto complessa, come le sue 'parenti strette' come l'ipocicloide tricuspidale, o la concoide o ancora le spirali logaritmiche, tutte curve che qui non tratteremo. La cicloide rappresenta la traiettoria di un punto di una circonferenza che rotola senza strisciare, evidentemente è una curva periodica, a ogni giro della circonferenza si ripete uguale a sé stessa. Ha una proprietà molto interessante, se consideriamo due punti non alla stessa altezza, qual è la traiettoria che un oggetto deve percorrere per arrivare da un punto all'altro nel minor tempo possibile se è mosso solo dalla forza di gravità? Una prima risposta sembra essere la retta, perché lo spazio che deve percorrere l'oggetto risulterà minore che con qualsiasi altra traiettoria, ma bisogna osservare che se la traiettoria è molto inclinata verso il basso l'oggetto acquisterà molta velocità in poco tempo, quindi bisogna trovare il giusto 'equilibrio' tra pendenza è brevità del percorso: questo equilibrio si trova appunto nella cicloide.