APPUNTI FONDAMENTALI DI ANALISI I

Il concetto di insieme e le principali operazioni con gli insiemi

CONCETTO DI INSIEME: Un'insieme è un gruppo di elementi che soddisfano una determinata proprietà P.

A= A=

OPERAZIONI CON GLI INSIEMI: Dati A= e B=

A B =

A B =

A - B = AB =

A B =

PROPRIETÀ DEGLI INSIEMI:

a)   indempotenza: A A = A; A A = A

b)   commutativa: A B = B A; A B = B A

d)   associativa:           A (B C) = (A B) C; A (B C) = (A B) C

e)   distributiva: A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C)

e)   assorbimento:        A (A B) = A; A (A B) = A

f)    leggi di De Morgan:         C - (A B) = (C - A) (C - B); C - (A B) = (C - A) (C - B)

PARTI DEGLI INSIEMI DI A:

P(A)= insieme delle parti

n.sottoinsiemi di A: |A| = n (per A finito) ottengo che |P(A)| = 2 ⁿ

PRODOTTO CARTESIANO:

X x Y =

(x, y) vengono chiamate coppie ordinate

Il concetto di funzione e le nozioni di funzione iniettiva, surgettiva, biiettiva e invertibile

CONCETTO DI FUNZIONE: funzione f: una legge che associa ad ogni elemento di X uno ed un solo elemento di Y

f: X Y oppure X (f) Y

PROPRIETÀ ELEMENTARI DELLE FUNZIONI:

a)   surgettiva: Se ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di A. (|A| |B|)

b I B, a I A | f(a) = b

b)   iniettiva: Se elementi distinti di A hanno per immagine elementi distinti di B. (|A| |B|)

f(a1)=f(a2) T a1=a2

c)   bigettiva: Quando è sia iniettiva sia surgettiva; in questo caso f è una bigezione. (|A| = |B|)

d)   funzione identica: Quella funzione che ad ogni elemento di A associa se stesso e si indica con I(oppure i).

I: x x ; x I X

e)   applicazione inversa: Se f: A B è una bigezione esiste, univocamente determinata, un'applicazione g: B A tale che g ¤ f = I_a e f ¤ g = I_b. Tale applicazione si dice l'inversa di f e si indica con f ^-1.

f)    funzione crescente: f è crescente strettamente in A, o soltanto crescente, se e solo se

x1 , x2 I A | x1 < x2 f(x1) < f(x2)

g)   funzione decrescente: f è decrescente strettamente in A, o soltanto decrescente, se e solo se

x1 , x2 I A | x1 < x2 f(x1) > f(x2)

h)   funzione non-decrescente: x1 , x2 I A | x1 < x2 f(x1) f(x2)

i)    funzione non-crescente: x1, x2 I A | x1 < x2 f(x1) f(x2)

j)    funzione monotona: Quando una funzione è crescente, decrescente, non-decrescente o non-crescente.

k)   funzione pari: f(x) = f(-x) ottengo una funzione simmetrica rispetto all'asse Y.

l)    funzione dispari: f(x) = -f(-x) ottengo una funzione simmetrica rispetto all'origine O.

Il concetto di proposizione e di predicato; uso dei quantificatori

SIMBOLOGIA DEI CONNETTIVI:

congiunzione "e" &,

congiunzione "o" V ("vel" latino)

se.allora T

se e solo se

negazione

TABELLA DI LOGICA:

REGOLE DEDOTTE:

P T Q Q T P

(P V Q) P & Q

(P & Q) P V Q

I PREDICATI:

Si può chiamare predicato P(x) una proprietà riguardante una o più variabili che utilizzano relazioni binarie (es. x<y) o unarie (x>8) espresse con relazioni insiemistiche [=,I,Ì,Í,È,Ê] o con relazioni numeriche [=,<, ,>,

REGOLE PER COSTRUIRE NUOVI PREDICATI:

la possibilità di sostituire un numero con una variabile o viceversa, in modo da passare da predicati unari a predicati binari.

utilizzare i connettivi logici (&,V,T,Û,Ø) per legare due o più connettivi logici.

l'applicazione dei quantificatori

quantificatore universale: , "per ogni"

quantificatore esistenziale: , "esiste" ( ! , "esiste un unico")

negazione di un proposizione: Ø A(x) = Ø P(x) e negare i quantificatori [

Numeri naturali, interi, razionali e reali; irrazionalità della radice di 2 (*)

N = numeri naturali non posso considerare numeri negativi

Z = numeri interi non posso dividere un elemento in parti uguali

Q = } numeri razionali (ratio = rapporto)    ma 2 è un numero non razionale

R = numeri reali da ciò posso dedurre che N Z Q R

Dimostrazione dell'irrazionalità di

Si può dimostrare che 2 è un numero irrazionale procedendo per assurdo.

Poniamo I Q , quindi 2 è scrivibile come

2 = p/q , per avere una soluzione razionale elevo al quadrato

2² = p²/q² 2q² = p² , a questo punto posso notare che p è un numero pari e q deve essere un numero dispari

p = 2k p² = 4k² , da ciò sostituisco nell'equazione precedente e ottengo

4k² = 2q² 2k² = q² , a questo punto noto che anche q è un numero pari e quindi arrivo ad una contraddizione

Per assurdo è stato dimostrato quindi che Q

Assiomi dei reali

(i) Una operazione "+" detta somma.

(ii)            Una operazione "." detta prodotto.

(iii)           Una relazione binaria " " detta relazione d'ordine.

Proprietà della Somma:

S1= proprietà commutativa: x, y I R ; x + y = y + x

S2= proprietà associativa: x, y, z I R ; (x + y) + z = x + (y + z)

S3= esistenza dell'elemento neutro: e I R, x I R ; x + e = x (e = 09

S4= esistenza dell'elemento inverso: x I R, $ y I R ; x + y = 0 ("y = -x" ed è chiamato opposto di X)

Proprietà del Prodotto:

P1= proprietà commutativa: x, y I R ; x . y = y . x

P3= esistenza dell'elemento neutro: e I R, x I R ; x . e = x (e = 1)

P4= esistenza dell'elemento inverso: x I R-, y I R ; x . y = 1

("y = 1/x" ed è chiamato inverso di x)

Proprietà derivate dalla somma e dal prodotto

PS= proprietà distributiva: x, y, z I R ; x . (y . z) = (x . y) . z

OSSERVAZIONE: Un qualunque insieme F che soddisfa le proprietà (S), (P) e (PS) si dice campo; dunque i reali sono un campo, ma non sono l'unico; per esempio anche i razionali formano un campo.

Proprietà dell'ordinamento:

O1= proprietà transitiva: x, y, z I R ; x y & y z T x z

O2= proprietà tricotomica: x, y I R ; x y & y x T x = y

O3= proprietà di ordinamento totale: x, y I R ; x y V y x

Proprietà derivate dal campo e dall'ordinamento:

OS= monotonia della somma: x, y, z I R ; x y x + z y + z

OP= monotonia del prodotto: x, y, z I R ; x y x . z y . z

ASSIOMA DI COMPLETEZZA:

Comunque dati due sottoinsieme di R, A e B, soddisfacenti la seguente proprietà:

x I A, y I B, x < y

esiste un elemento separatore, ovvero un numero reale L tale che:

x I A, y I B, x L y

Legge di annullamento del prodotto: Se a . b = 0 allora a = 0 o b = 0 (0 è l'elemento assorbente del prodotto)

Il principio di Induzione

Sia P(n) un predicato definito su N. Supponiamo che

P(0) è vero.

Se P(n) è vero allora anche P(n+1) è vero.

Allora, per ogni n I N, P(n) è vero.

I FONDAMENTI DELL'ANALISI INFINITESIMALE

La matematica propone modelli per descrivere la realtà, ma ci sono calcoli o formule che in alcuni casi devono servirsi dei cosiddetti numeri "ideali". I numeri Ideali rappresentano un espansione degli insiemi infiniti e nel caso particolare ampliano l'insieme R all'insieme R* (numeri iperreali). I numeri ideali possono servire per descrivere esperienze come "il calcolo del segmento di parabola" o "la velocità istantanea" in un punto.

Il concetto di velocità istantanea

Una delle contraddizioni a cui si giunge studiando i problemi in modo classico è il calcolo della velocità istantanea, ovvero la velocità in un punto; poiché la velocità e sempre definita come velocità media in un intervallo [t1,t2], ottengo che ,quindi per "t" (=t1=t2) non ottengo soluzioni valide, ma introducendo gli infinitesimi e scrivendo t2 - t1 = 0 + d e t2 + t1 = 2t ottengo, sostituendo nella formula,

V(t1,t2)=Vo - g . t - ½ . g . (d) , possiamo assumere d un numero trascurabile e quindi

la velocità istantanea è Vi = Vo - g . t

L'insieme dei numeri iperreali e il concetto di traccia di un numero iperreale

L'insieme dei numeri iperreali è un estensione dei numeri reali e contiene numeri ideali, e si indica con R*.

Gli assiomi principali sono:

i)    R* è un campo ordinato;

ii)   R R*

iii)             esiste un numero a_o I R* tale che x I R, a_o > x

iv)             Principio di Rappresentazione:

v)   Principio di Sostituzione:

vi)             Principio di Selezione:

Definizioni dei numeri:

n    Illimitato (o infinito): x I R*, k I N, |x| > k

n    Limitato: x I R*, k I N, |x| < k

n    Infinitesimo: x I R*, k I N, |x| < 1/k

n    Apprezzabile: se è limitato ma non infinitesimo, x I R*, k I N, 1/k < |x| < k

Ordine di un numero iperreale

• Teorema 2.4.1.

Dato un numero iperreale limitato x I R*, esiste sempre un unico numero reale x₀ infinitamente vicino ad x. L'unico numero reale x₀~x si chiama parte standard di x. In simboli si scrive x=st(x

• Teorema 2.4.3.

Possiamo introdurre una nuova funzione da R* (numeri iperreali illimitati) a R^ (tra - e +

tr: R* R^

detta traccia, che estende la funzione parte standard ai numeri illimitati:

• Teorema 2.7.3.

Se j a y a ), allora (f·j a ·y a

CAPITOLI RESTANTI

• Concetto di Continuità.

Data una funzione

f: A R

si dice continua in un punto x₀ I A se per ogni x I A*, si ha che

x ~ x₀ x) ~ f(x₀)

• Definizione di Weierstrass.

Sia data una funzione f: A R. Un punto x₀ I A si dice punto di massimo assoluto (o semplicemente massimo) di f se

x I A : f(x₀) f(x)

Il numero M = f(x₀) si chiama valore massimo di f (o anche "massimo di f"). Un numero LIR^ si dice estremo superiore di f se è l'estremo superiore dell'insieme f(A)* ovvero se soddisfa le seguenti proprietà:

• 'x I A*, f(ξ) ≤ L,
• $x I A*, tr[f(x)] = L.

Analogamente si definisce il minimo e l'estremo inferiore.

• Teorema di Weierstrass.

Una funzione continua    f : [a,b] R  ha massimo e minimo (assoluti).

• Teorema di Bolzano e sue conseguenze.

Sia f : [a,b] R una funzione continua che assume valore di segno opposto in a e b. Allora f ha almeno uno zero in (a,b).

• Uniformemente continuità.

Una funzione f : A R (A R) si dice uniformemente continua in A, se presi x z I A* con x z, si ha che:                       f(x z

• Teorema di Cantor.

Se f è una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora essa è uniformemente continua.

• Il concetto di Limite.

Sia data una funzione : A R; si dice che il limite di per x che tende a x₀ I R^ è l I R^ se

x I A* - tr(x) = x₀ T tr[ x)] = l

In simboli si scrive

• Definizione della Derivata.

Sia data una funzione :(a,b) R e si consideri un punto x₀ I (a,b). Si dice che è derivabile in x₀ se 'e e 0), il numero

è ben definito (cioè non è e non dipende da e

• Teorema di Fermat.

Sia data una funzione derivabile : (a,b) R.

Allora, se x₀ è un punto di massimo o di minimo locale per , si ha che         ^I(x₀) = 0.

• Teorema di Lagrange.

Sia data una funzione continua

: [a,b] R

derivabile in tutti i punti dell'intervallo aperto (a,b). Allora esiste almeno un punto x₀ I (a,b) tale che

• Teorema di Rolle.

Sia data una funzione continua

: [a,b] R

derivabile in tutti i punti dell'intervallo aperto (a,b). Allora se

(a) = (b),

esiste almeno un punto x₀ I (a,b) tale che

^I(x₀) = 0

• Teorema di Cauchy.

Siano date due funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b). Supponiamo che g^I sia diversa da zero in tutto (a, b). Allora esiste un punto x₀ I (a, b) tale che

• Teorema 4.7.1.

Sia data una funzione derivabile definita in un intervallo. Allora se la sua derivata è nulla essa è costante.

• Teorema 4.7.2.

Sia data una funzione continua : [x₀, a) R, derivabile in (x₀,a). Allora se

la funzione ha la derivata destra nel punto x₀ ed inoltre        D⁺ (x₀) = l.

• Definizione dell'Integrale.

Si chiama d -integrale di una funzione : (a,b) R, il numero

• Teorema fondamentale del calcolo Integrale.

Sia data una funzione continua F : [a,b] R dotata di derivata continua. Allora si ha che:

DIMOSTRAZIONE

poiché h è infinitesimo, risulta che,      

• Teorema della Primitiva.

Il problema,

ha un'unica soluzione m; essa è data dalla formula

• Teorema 6.3.2.

Sia : I R (ove I è un intervallo) una funzione derivabile. Allora è crescente (rispettivamente decrescente) se e soltanto se,

x I I, ^I(x) 0, rispettivamente x I I, ^I(x)

• Teorema 6.3.3.

Sia : I R (ove I è un intervallo) una funzione derivabile. Allora è strettamente crescente (rispettivamente decrescente) se e soltanto se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

(i)      x I I, ^I(x) 0 (rispettivamente x I I, ^I(x)

(ii)            non esiste alcun intervallo J contenuto nell'insieme critico

W =

• Teorema 6.3.4.

Sia una funzione monotona crescente definita in (a,b) R. Allora

• Teorema 6.6.3.

Sia data una funzione I C¹(I) e sia x₀ I I un punto critico isolato (cioè un punto critico che non è infinitamente vicino ad altri punti critici o singolari). Allora si ha una delle seguenti possibilità:

(i)      x₀ è un punto di massimo stretto.

(ii)            x₀ è un punto di minimo stretto.

(iii) x₀ è un punto di flesso orizzontale.

• Teorema 6.7.3.

Sia una funzione definita in un intervallo aperto I. Allora

• (i) se I C¹, è convessa se e soltanto se ' è crescente.
• (ii) se I C², è convessa se e soltanto se '' (x) 0 per ogni x I I.

• Regole di L'Hôpital.

Prima Regola (0/0):

Siano date due funzioni continue in [x₀, b) e derivabili in (x₀, b). Supponiamo che si abbia (x₀) = g(x₀) = 0 e che g ' assuma lo stesso segno in tutto (x, b).

Se , allora esiste anche il limite, ed è 'l'.

Prima Regola (

Siano date due funzioni continue in [x₀, b) e derivabili in (x₀, b). Supponiamo che si abbia e e che g ' assuma lo stesso segno in tutto (x, b).

Se , allora esiste anche il limite, ed è 'l'.

Seconda Regola (0/0):

Siano date due funzioni, e g, continue in (a, + ) ed ivi derivabili. Supponiamo che si abbia e che g ' assuma lo stesso segno in tutto (a, +

Se , allora esiste anche il limite, ed è 'l'.

Seconda Regola (

Siano date due funzioni, e g, continue in (a, + ) ed ivi derivabili. Supponiamo che si abbia e e che g ' assuma lo stesso segno in tutto (a,+

Se , allora esiste anche il limite, ed è 'l'.

• ASINTOTI.

Gli asintoti di una funzione possono essere verticali, orizzontali ed obliqui; la funzione non tocca mai queste rette ma 'vi tende', in questo modo possiamo capire il comportamento della funzione in punti particolari della funzione e all'infinito.

Se il , in questo caso si dice che ha un asintoto verticale in x₀.

Per lo studio dell'asintoto orizzontale od obliquo bisogna dare le seguenti definizioni.

Definizione 6.9.1. Sia data una funzione : I R ove I è un intervallo illimitato superiormente (risp. inferiormente). Si dice che la retta di equazione

y = ax + b

è un asintoto destro (risp. sinistro) per se

    (risp. )

Se si ha a=0, si dice che la retta y è un asintoto orizzontale, altrimenti si dice che è un asintoto obliquo.

Teorema 6.9.2. Le seguenti proposizioni valgono per un asintoto orizzontale:

i. la retta y = b è un asintoto orizzontale destro (risp. sinistro);

ii. (risp. ).

Teorema 6.9.3. Le seguenti proposizioni valgono per un asintoto obliquo.

i. la retta y = ax + b è un asintoto obliquo destro (risp. sinistro);

ii. e (risp. per -

• Studio di Funzione.

i. Determinazione del dominio 'naturale' della funzione assegnata (che in genere viene chiamato anche campo di esistenza), cioè dell'insieme 'più grande' sul quale sono definite quelle espressioni analitiche che compaiono nella funzione.

ii. Determinazione di eventuali simmetrie: si verifichi se la funzione è pari ( (-x)= (x)) o dispari ( (-x)=- (x)). In questo caso sarà sufficiente studiare la funzione per x 0 in quanto il suo comportamento per x < 0 verrà determinato dalla simmetria.

iii. Determinazione del comportamento asintotico della funzione; se il dominio D della funzione è illimitato superiormente e/o inferiormente si calcolino i limiti della nostra funzione per x . Qualora esistano, si determinino gli eventuali asintoti orizzontali e/o obliqui.

iv. Determinazione dei punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate. L'intersezione con y si ottiene valutando (0), mentre con l'asse x ponendo (x)=0.

v. Determinazione dei punti singolari e loro classificazione. Per fare ciò si devono calcolare i limiti che la funzione presenta nei punti ove non è definita o è discontinua. Inoltre si calcoli ' (x), si determinino i punti ove ' non è definita o è discontinua e si calcolino i relativi limiti.

vi. Determinazione dei punti critici. Si studia l'equazione ' (x) = 0. Prima di classificare i punti critici può essere conveniente passare al punto successivo.

vii. Studio della crescenza e della decrescenza, valutando il segno che la derivata prima assume tra un punto critico (o singolare) e l'altro.

viii. Si concluda la classificazione dei punti critici sfruttando le informazioni ottenute precedentemente. A questo punto si può anche verificare l'esistenza di eventuali asintoti obliqui.

ix. Studio della derivata seconda, e determinazione dei punti di flesso e degli intervalli ove è concava ( ) o convessa (

x. Disegnare il grafico della funzione in base ai ragionamenti fatti su essa.

• Il Logaritmo.

Definizione 7.1.1. Per ogni x I R⁺, si pone

Il numero log x si chiama logaritmo naturale (o semplicemente logaritmo) di x. La funzione x log x si chiama funzione logaritmo. Esaminiamo adesso alcune delle più importanti proprietà del logaritmo:

i. log: R⁺ R

ii. x, y I R⁺, log(xy) = log x + log y

iii. x I R⁺, n I Z, log xⁿ = n log x

iv. D log x = 1/x

v. Il logaritmo è una funzione strettamente crescente e strettamente concava.

• La funzione esponenziale.

Per il teorema 6.3.2 la funzione logaritmo è una funzione invertibile. La sua funzione inversa è definita su R ed assume valori su R⁺; tale funzione si chiama esponenziale ed in simboli,

exp x

Di seguito sono elencate le sue proprietà:

i. exp: R R

ii. exp 0 = 1

iii. exp(x + y) = exp x * exp y

^iv. exp(nx) = (exp x)ⁿ

v. D exp x = exp x

vi. exp x non ha punti singolari, è strettamente crescente e strettamente convessa.

^vii. x I R, 'w I W exp x = tr (1 + x/w ^w

La costante di Nepero 'e'.

La Costante di Nepero 'e', insieme a p, è la costante più importante dell'Analisi Matematica; è un numero irrazionale il cui valore approssimato a meno di un centesimo è 2,71.

• Definizione di Serie.

Si dice che la serie è regolare se il numero

non dipende dalla scelta di w I W; se S I R, si dice che la serie è convergente e il numero S si chiama somma della serie; se S = si dice che la serie è divergente. Una serie che non è regolare si dice indefinita.

Alcune Proprietà:

• Due serie

si dicono definitivamente uguali se differiscono solo per un numero finito di termini ovvero se esistono due numeri k₀ I N e q -k₀ tali che           k k₀, a_k = b_k+q.

• Se la serie è regolare, allora .
• Se la serie è indefinita allora il limite          lim_n S(n) non esiste.

• Il criterio di convergenza di Cauchy.

Successione di Cauchy. Una successione a valori reali a_n si dice successione di Cauchy se

Per le successioni: Una successione a valori reali a_k è convergente se è una successione di Cauchy.

Per le serie: Una serie     è convergente se e soltanto se .

• Il Criterio di Convergenza monotona e la convergenza assoluta.

Teorema 8.4.1. Criterio di convergenza monotona per le successioni: Una successione monotona crescente a_n (cioè tale che n<m a_n<a_m) è sempre regolare (cioè è convergente o diverge a + ) e si ha

Analogamente, se a_n è una successione decrescente,

Definizione 8.4.2. - Si dice che la serie converge assolutamente se la serie è una serie convergente.

Teorema 8.4.3. - Una serie assolutamente convergente è convergente.

Teorema 8.4.3 - Criterio di convergenza monotona per le serie: La serie converge assolutamente se e soltanto se $w I W , se invece $w I W, allora la serie non converge assolutamente.

• Criteri del Confronto.

Date due serie:     (1) (2)

Primo Criterio del Confronto: Siano assegnate due serie a termini positivi (1) e (2). Supponiamo che esista M I R,

Allora se la serie (2) converge, anche la (1) converge; se la serie (1) diverge anche la serie (2) diverge.

Secondo Criterio del Confronto: Siano assegnate le due serie a termini positivi (1) e (2). Supponiamo che

Allora la serie (2) converge se e soltanto se la (1) converge.

• Criterio dell'Integrale.

Si consideri la serie (1) e supponiamo che esista una funzione continua : (c, + R, che soddisfa le seguenti ipotesi:

i. è decrescente,

_ii. n I N (n) = a_n

Allora la serie (1) converge se e soltanto se

Esempio Importantissimo

La seguente serie , per p=1 si chiama serie armonica. per p 1 si chiama serie armonica generalizzata. Per p 1 la serie diverge, mentre per p>1 la serie converge.

• Criterio del Logaritmo.

Se 'w I W p I R                     la serie converge, se invece

                    la serie diverge.

• Criterio della Radice.

Se 'w I W,   la serie converge. Se invece $w I W,   la serie diverge.

• Criterio del Rapporto.

Se              la serie converge.

Se invece              la serie diverge.

• Serie a segni alterni.

Una serie a segni alterni si definisce come segue

Se si ha che a_k+1 < a_k, allora essa converge se e soltanto se 'w I W, a_w

• Definizione dei numeri complessi.

I numeri complessi costituiscono un corpo numerico basato sull'esistenza un nuovo numero, il 'i' il quale è caratterizzato dalla proprietà

i² = -1

Un numero complesso viene rappresentato nella forma

z = x + iy

dove x è la parte REALE e y la parte IMMAGINARIA,

Re(z) = x              Im(z) = y

Vediamo come sviluppare addizione e moltiplicazione di numeri imagginari

(x₁+iy₁) + (x₂+iy₂) = (x₁+x₂) + i(y₁+y₂)

(x₁+iy₁) (x₂+iy₂) = (x₁x₂ + y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₁y₂)

Valgono le seguenti proprietà per i numeri complessi, dato z = x + iy,

i. , che si chiama 'coniugato di z'

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii. , dove |z| si chiama modulo

• Forma Trigonometrica di un numero complesso

Un numero complesso può essere rappresentato da un punto nel piano delle coordinate, torna utile pero rappresentarlo anche tramite le coordinate polari (r,j), quindi:

x = r cos j y = r sin j pertanto z = r(cosj + i sinj

Si può notare che r = |z| e quindi chiamato r = |z| si può scrivere:

r = x² + y²           cos j = x/r sin j = y/r

Importante è la seguente formula: zⁿ = rⁿ cos(ny) + i sin(ny)

• Formula di Eulero.

Poiché dato un numero complesso z si pone:

Vale la seguente formula, conosciuta come Formula di Eulero:

con x, y I R

Curiosità

I cinque numeri più importanti della matematica indubbiamente sono i seguenti: 0, 1, p, e, i. Se nella formula di Eulero poniamo x=0 ed y=p, si ottiene: e^ip . Pertanto abbiamo una 'formula magica che riunisce le nostre 5 costanti.

• Calcolo delle radici n-esime di un numero complesso.

Le radici n-esime di un numero complesso w, sono per definizione i numeri complessi z che risolvono la seguente equazione:                 zⁿ = w

Se si pone             z = r e^ij e w = R e^iQ

L'equazione proposta assume la forma              rⁿe^inj = R e^iQ

Quindi il problema di trovare z si riduce a risolvere il seguente sistema

rⁿ = R;

nj Q + 2kp; k I Z;

Quindi la soluzione, per il teorema 9.6.1., è      z = re^ij

• Calcolo del logaritmo di un numero complesso.

Il logaritmo di un numero complesso w è l'insieme di tutte le soluzioni complesse z dell'equazione                  e^z = w, ovvero z=logw

Quindi                  z = x + iy e w re^ij

Il problema si riduce a trovare i numeri reali x e y tali che

e^x = r (x = logr

e^ij = e^iy (y = j + 2kp

• Teorema Fondamentale dell'Algebra.

L'equazione algebrica zⁿ - a₀ = 0 nel campo complesso ha esattamente n soluzioni, questo si può generalizzare ad una qualsiasi equazione algebrica nel campo complesso di grado n,

P_n(z) = 0

dove P_n è un polinomio di grado n. Una soluzione si chiama anche radice del polinomio P_n(z).

Teorema della divisione tra polinomi. Dati due polinomi P_n(z) e D_m(z) di grado n ed m rispettivamente (D_m non-nullo), allora esistono due polinomi Q(z) e R(z) tali che

P_n(z) = Q(z)D_m(z) + R(z)            dove il grado di R(z) < m

Tali polinomi sono determinati univocamente e sono chiamati polinomio quoziente e polinomio resto rispettivamente. Inoltre se n m, il grado di Q(z) è n-m.

Le due seguenti asserzioni sono equivalenti:

1. P_n(z) è divisibile per il polinomio di primo grado z-z₀.
2. z₀ è una soluzione di P_n(z).

Si dice che z₀ è una soluzione dell'equazione P_n(z)=0 di molteplicità m, se il polinomio P_n(z) è divisibile per (z-z₀)^m

Teorema fondamentale dell'Algebra. Se n 1, l'equazione P_n(z) ha almeno una soluzione.

Teorema di scomposizione dei polinomi. Ogni polinomio di grado n è scomponibile nel prodotto di n polinomi di primo grado; più precisamente, se

P_n(z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + .. + a₁z + a₀

esistono n numeri complessi z₁, z₂, ., z_n tali che

P_n(z) = a_n(z-z₁)(z-z₂)(z-z_n)

Teorema di D'Alembert. L'equazione P_n(z) = 0 ha esattamente n soluzioni se vengono contate con la loro molteplicità.

• Derivata e Integrale di funzioni a valori complessi

Data (t) = u(t) + i v(t), si può calcolarne la derivata e l'integrale;

DERIVATA.         '(t) = u'(t) + i v'(t)

INTEGRALE.