Un nuovo approccio al problema : giovanni g

UN NUOVO APPROCCIO al problema : Giovanni G. Saccheri

I tentativi di dimostrare il quinto postulato di Euclide continuarono pertanto con scarsi successi fino al XVII secolo, tanto che il quinto postulato era stato etichettato come "lo scandalo della geometria". Merita indubbiamente attenzione l'opera del gesuita Giovanni G. Saccheri, professore di matematica all'Università di Pavia e audace studioso di logica, che ebbe un'idea nuova e rivoluzionaria. Il suo nuovo approccio al problema del quinto postulato consiste nel seguente ragionamento: data una linea L e un punto P, allora o (a) per P passa esattamente una parallela a L oppure (b) per P non passano parallele a L oppure (c) per P ci sono almeno due parallele ad L. L'alternativa (a) era il postulato delle parallele di Euclide. Supponiamo che essa fosse sostituita dalla (b) e che quest'ultima, insieme con gli altri nove postulati di Euclide, dovesse condurre a teoremi contraddittori. Allora sicuramente la (b) non sarebbe corretta. Similmente, se l'uso della (c) e degli altri nove postulati euclidei avesse condotto a teoremi contraddittori, allora l'alternativa (c) sarebbe stata inevitabilmente erronea. Ne sarebbe allora seguito necessariamente che il postulato delle parallele di Euclide è l'unico possibile.Usando la (b) insieme agli altri nove postulati euclidei, Saccheri dedusse teoremi che si contraddicevano l'un l'altro. Egli non riuscì però a dedurre contraddizioni dall'uso dei nove postulati euclidei e dell'assioma alternativo postulante l'esistenza di almeno due parallele. Benché i suoi sforzi fossero precisi ed estesi, e benché alcune sue deduzioni fossero di fatto strane se confrontate con risultati analoghi ottenuti da Euclide, non emersero contraddizioni. Saccheri era sulla soglia di una scoperta fondamentale, ma si rifiutò di oltrepassarla derivando conclusioni dall'impossibilità da lui riscontrata di dedurre contraddizioni. Pertanto egli si dimostrò a tal punto impreparato agli strani teoremi che derivò dal suo insieme di postulati che stabilì che il quinto postulato di Euclide dovesse essere vero necessariamente. Conformemente a queste opinioni, nel 1733 pubblico i suoi risultati in un libro intitolato "Euclides ab omni naevo vindicatus" (Euclide preservato da ogni macchia).

Una spiegazione dell'insuccesso di Saccheri oltre che di molti altri è che, per quanto grandi fossero i matematici che affrontarono il problema del quinto postulato, nessuno fu abbastanza sottile da riconoscere un abito di pensiero bimillenario.