Spiegazione dei collegamenti e introduzione ai tre argomenti

Spiegazione dei collegamenti e introduzione ai tre argomenti

Obiettivo di questo lavoro è stato quello di analizzare il rapporto finito-infinito in chiave pluridisciplinare, collegando due argomenti come l'evoluzione dell'universo ed il Paradiso di Dante, apparentemente molto distanti tra loro.

Ho voluto poi approfondire in particolare il concetto di infinito rivisitato da Georg Cantor, che ne ha completamente stravolto il significato matematico riuscendo, a partire dalle proprietà degli insieme infiniti, a descrivere quelle degli insiemi finiti.

Pensando all'universo, l'uomo si è sempre domandato se sia finito oppure infinito ma, fino a questo momento, si può trovare una risposta solo distinguendone due aspetti.

Infatti, l'universo visibile è sicuramente finito dal momento che il Big Bang è avvenuto 13,7 miliardi d'anni fa e che la velocità della luce, la massima possibile, ha un valore, che seppur elevato è finito.

Allo stesso tempo, però, è potenzialmente infinito, in quanto potrebbe continuare ad espandersi per un tempo infinitamente lungo.

Per quanto concerne le teorie astronomiche, queste sono ancora tutte ipotesi di quella che potrebbe essere la futura evoluzione dell'universo. Infatti, questa dipende dal cosiddetto parametro di densità Ω, cioè il rapporto tra densità totale di massa dell'universo e la densità critica.

Mentre il valore della densità critica è stato calcolato matematicamente, è molto difficile complesso determinare Ω con precisione. La difficoltà sorge dal riuscire a calcolare la massa dell'intero universo, considerando anche la presenza della materia oscura.

Dai più recenti studi il valore di Ω si attesta tra 0,9 e 1,1, quindi è con buona approssimazione vicino ad 1. Questo fa pensare ad un universo piatto che dunque è destinato a terminare la sua evoluzione ma in un tempo infinitamente lungo, tendendo asintoticamente a zero.

La presenza dell'energia e della materia oscura sta però facendo sorgere nuovi problemi, dal momento che, nel 1998, è stato osservato che l'allontanamento delle galassie sta aumentando. Proprio la densità di questa materia sarà indicatrice del futuro dell'intero universo che nei prossimi 20 miliardi d'anni potrebbe essere destinato alla morte termica.

Guardando al XXXIII Canto del Paradiso, anche Dante, che fa coincidere il Paradiso con il suo universo, sembra incredibilmente presentare un universo infinito, concezione che sembrerebbe analoga a quella delle più moderne teorie astronomiche.

Infatti, una volta compiuta una seconda trasumanazione (dopo quella avvenuta nel canto I), egli giunge nell'Empireo, dove è presente il vuoto e non esiste più una razionale concezione di spazio e tempo.

Dal momento che Dio, infinito, raccoglie in sé tutti i cieli, in quanto causa prima e fine di tutto, si delinea una forma di universo che non rispetta certamente le teorie di un cosmo finito così fortemente portate avanti dalla Chiesa.

Trattandosi però di un uomo del Trecento, dotato di una così grande fede religiosa, la spiegazione di questa analogia si trova proprio in questa sua certezza del disegno divino, di perfezione ed infinita bellezza.

Allo stesso tempo Dante, nell'ultimo canto del Paradiso mostra la tensione finito- infinito anche nel rapporto uomo-Dio, creatura e creatore.

Il Signore, infatti nella sua perfezione, ha creato l'uomo guidato solo dall'amore, incarnandosi e sacrificandosi per redimerlo dal peccato. Allo stesso tempo l'uomo, attraverso il Sommo Poeta che compie questo viaggio non solo per se stesso ma per tutta l'umanità, tende sempre a Dio, all'infinito.

Il matematico Georg Cantor è riuscito, tra la seconda metà e la fine del XIX secolo, a definire gli insiemi finiti a partire da quelli infiniti anziché il contrario.

Egli, inizialmente, dà questa definizione: un insieme infinito se è equipotente a qualche sua parte propria; nel caso opposto si chiama finito. Questo percorso è basato sul concetto di cardinalità degli insiemi, cioè la loro equipotenza.

Introducendo poi la nozione di insiemi numerabili, quelli equipotenti all'insieme N dei numeri naturali, dimostra attraverso l'esempio dell'insieme R dei reali che non tutti gli insiemi sono numerabili.

Chiamando potenza del numerabile la cardinalità di un insieme con mostra che il numero transinfinito dei reali risulta maggiore di e chiama nello specifico questo numero cardinale di R potenza del continuo

Riesce a dimostrare che la potenza del continuo è maggiore di quella del numerabile e che l'insieme delle parti di un insieme ha potenza maggiore dell'insieme stesso, espressione del Teorema di Cantor.