Applicazioni delle geometrie non euclidee

APPLICAZIONI DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

L'importanza delle geometrie non euclidee è ormai nota, soprattutto perché esse hanno numerosi settori di applicazione e hanno contribuito allo sviluppo di molte tecnologie moderne. Perciò, al di là della spiegazione matematica e geometrica, ciò che veramente è interessante notare è lo svariato utilizzo che ne è stato fatto. Infatti, esse servono in astronomia, nella navigazione, in crittografia e nella robotica, e in molto altro ancora.

Ad esempio, se consideriamo il pianeta Terra e la sua sfericità ci si rende conto dell'importanza delle geometrie non euclidee. Infatti, non si può considerare il V postulato in quanto non ammette la sfera come piano di riferimento. Allora come fare per percorrere migliaia di chilometri sorvolando una superficie sferica? I piloti degli aerei sanno benissimo che le rotte sfruttano i principi della geometria ellittica, per cui la via più breve fra due località è spesso un arco di cerchio massimo, chiamato geodetica.

Persino l'universo risponde alle leggi delle geometrie non euclidee. Infatti, lo spazio non è lineare e presenta ondulazioni e protuberanze nei pressi di pianeti, stelle, galassie, cosa ben visibile considerando le deviazioni delle traiettorie della luce, formata da particelle. Questa è un'applicazione, ancora una volta della geometria ellittica e fu scoperta da Einstein ed è contenuta nella teoria della relatività generale pubblicata nel 1915. Infatti, se l'universo fosse piatto ed uniforme come lo spazio euclideo, si espanderebbe sempre più lentamente fino ad avvicinarsi sempre più alla velocità zero, senza arrivarci mai. Questo perché, se fosse come Euclide pensava potesse essere, l'espansione si fermerebbe a causa della forza di gravità. Al contrario se l'universo fosse sferico, la forza di gravità in un lontano futuro supererebbe la forza di espansione provocata dal Big Bang e tutta la materia comincerebbe a contrarsi di nuovo fino a diventare di nuovo puntiforme.

Quindi, scartate le ipotesi dell'universo piatto e di quello sferico, cosa resta? Date le nostre conoscenze attuali, sappiamo che la velocità di espansione dell'universo sta progressivamente aumentando, cosa che ci appare strana se pensiamo al Big Bang come ad un'esplosione. Tutto ciò, invece, è spiegabile se consideriamo un terzo sistema geometrico per descrivere l'universo, ovvero l'universo iperbolico. Tuttavia, l'idea dello spazio iperbolico è ancora un'ipotesi non dimostrabile, cosa che ha portato alcuni scienziati a proporre nuovi sistemi. Tutti, però, sono oramai concordi sul fatto che l'universo non sia descrivibile tramite lo spazio euclideo. Considerando l'universo nella sua interezza, il modello iperbolico rimane comunque un'approssimazione valida.

Anche in ingegneria, e in particolare nella robotica è possibile trovare un ulteriore campo di applicazione. Infatti, essendo i bracci robotici vincolati, essi si muovono descrivendo circonferenze o sfere, rispondendo, quindi, alle leggi della geometria ellittica. Ovviamente, tanto più il braccio è complesso, più il problema diventa complesso. Nonostante ciò, anche in questi casi è possibile rappresentare una superficie astratta su cui avviene il movimento, che altro non è se non una sfera in uno spazio con più dimensioni. Certo, in questi casi è necessario l'intervento di discipline più complesse, quali la geometria differenziale, però, non si può negare l'utilità delle geometrie non euclidee.

Persino in arte le geometrie non euclidee hanno trovato un loro campo di applicazione nelle tassellazioni di Escher, artista olandese. Infatti, nelle sue opere è possibile ritrovare le regole della geometria iperbolica. I lati delle figure che utilizza sono spesso archi di circonferenze che intersecano la circonferenza più esterna in cui è inscritta tutta l'opera. Questi lavori sono la prova che presa una circonferenza come piano di riferimento esistono infinite rette parallele ad una retta presa come riferimento. Allo stesso modo è evidente che gli angoli delle singole figure misurano meno se confrontati ad angoli corrispondenti disegnati sul piano euclideo.

Ciò si spiega in quanto le rette iperboliche passanti per due punti tracciano il collegamento più breve possibile. Inoltre, sebbene i triangoli e i quadrilateri usati da Escher sembrano variare la loro grandezza man mano che ci si allontana dal centro, sono in realtà tutti isometrici     (quindi hanno la stessa lunghezza) nella geometria iperbolica e sono semplicemente il risultato di traslazioni o rotazioni.

Un'altra applicazione molto particolare è rappresentata dalla crittografia, ovvero l'arte delle scritture segrete. Essa è da sempre stata una disciplina necessaria ai popoli per comunicare senza essere capiti da tutti. Ancora oggi è utilizzata per le comunicazioni più importanti di banche, ministeri, diplomatici. Di per sé, la crittografia non è altro che una tecnica che consiste nel rendere un messaggio incomprensibile a tutti tranne che al destinatario. Ovviamente per poter avere una comunicazione è fondamentale che mittente e destinatario posseggano la stessa chiave, ovvero lo strumento per decifrare il testo. Dove sono in tutto questo le geometrie non euclidee? La risposta è il disco cifrate di Leon Battista Alberti. Infatti, una delle tecniche più comuni per cifrare un messaggio è il cosiddetto shifting, per cui si traslano le lettere dell'alfabeto di un certo numero di posti a scelta del mittente. Per cui spostando di due posti le lettere il risultato sarebbe:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X

Volendo rendere il discorso matematico, attribuendo a ciascuna lettera un numero corrispettivo si ottiene: