Analisi vettoriale

Analisi vettoriale

Insiemi di livello: disegnare l'insieme di livello di una funzioneequivale a porre. E graficare il risultato al variare di c

Teorema del Dini: serve a dimostrare l'esistenza di una funzione implicita generata dalla funzione . L'espressione della non può essere ricavata, sono però ricavabili le sue derivate e il suo valore puntuale.

Per dimostrare che la esiste nel punto bisogna verificare che

E che almeno una delle sue derivate parziali sia diversa da zero:oppure

Se le condizioni sono soddisfatte    e

Per avere le derivate successive basta continuare ad applicare la regola di derivazione delle funzioni composte all'espressione

Ricordiamo la formula di taylor per Samuele:

Nel caso di una funzione di più di due variabili le cose sono più o meno le stesse: bisogna verificare che e che almeno una delle sue derivate parziali sia diversa da zero:oppure ecc. ecc.

mettiamo che venga : le derivate saranno

.

Se qualcuno avesse voglia di trovare la formula per la sarebbe ben accetto, a me non va

Taylor per funzioni di più variabili

Caso dei sistemi lineari: nel caso in cui non ci sia una sola equazione, ma un sistema

Possono essere trovate 2 funzioni e

a condizione che lo jacobiano

Situazioni contingenti (e non) all'appropinquamento del distico elegiaco coturnato nel teorema del dini:

• Risolvere il limite     si risolve con de l'hopital
• trovare la retta tangente in :          
• trovare la retta normale in :          
• trovare il versore normale:                        

Problemi di massimo e minimo vincolati: trovare il massimo o il minimo di una funzione su di un vincolo. Il massimo e il minimo esistono sicuramente se il vincolo è chiuso e limitato e se la funzione è continua.

In ogni caso si tratta di risolvere il sistema                     

Nei casi più generali con e il sistema diventa più lungo

Nel caso che il vincolo sia composto da più funzioni, cioè     

Il sistema allora diventa

Gradiente:     Hessiano:

La divergenza del rotore di qualsiasi campo vettoriale derivabile due volte è sempre pari a 0

Equazioni di eulero:

Si sostituisce

Si trovano le soluzioni e

E la soluzione dell'equazione è

Nel caso le soluzioni risultino complesse del tipoe

Allora      

E la soluzione dell'equazione è

Lineari non omogenee tranquille:

• si trova la soluzione dell'omogenea associata: sostituisco trovo e e la soluzione è. Se
• si trova la soluzione di                                                                              la soluzione è del tipo si sostituisce e si trovano A, B, e C e quindi
• si trova la soluzione di                                                                                 la soluzione è del tipo per cui si sostituisce e si trovano A e B e quindi
• si trova la soluzione di                                                                      la soluzione è del tipo (le derivate sono uguali) si sostituisce e si trova e quindi

la soluzione sarà la somma delle quattro (la maggior parte delle quali sarà 0)

Lineari non omogenee stronze:

Si cerca il modo di cavarsela a buon mercato riconducendola a quelle semplici, non ci si riesce e

Si trovano le soluzioni dell'omogenea associata e la cui combinazione lineare è soluzione dell'omogenea

(se)

Si fanno variare le costanti con

Si risolve con kramer:

Si integra e si ricavanoe

Sistemi di equazioni differenziali

Teoria: un sistema di equazioni differenziali è risolvibile tramite matrici se la matrice A che lo rappresenta è diagonalizzabile.

Esercizio tipico: da cui

1. si trovano gli autovalori e gli autovettori corrispondenti come prima
2. le soluzioni vengono date nella forma , e la soluzione finale è . Nella pratica se,, e le soluzioni saranno, e la soluzione finale totale e assoluta sarà

Ps. Nel caso di fottuti valori immaginari degli autovalori si procede come al solito con qualche imprecazione in più, ci sarà tempo per bestemmiare più avanti, quanto toccherà esprimere la soluzione in forma trigonometrica e dividere la parte reale da quella immaginaria.

Ricordiamo per i più takkini che , capito SAMUELE?

EQUAZIONI DIFFERENZIALI:

1° tipo:          

Formula risolutiva:         

Per trovare C usi la condizione di Cauchy

2° tipo:          

Dividi per              

Poni , moltiplichi per e integri il tutto:

L'integrale è definito a meno di una costante C da trovare tramite la condizione di Cauchy. Se nel trovare C si riscontrassero problemi è possibile tornare indietro all'integrale e utilizzare direttamente la condizione di cauchy

e risolvere e si avrà direttamente la soluzione

3° tipo:          

Divido tutto per

Pongo e quindi

L'equazione diventa

E risolvi come prima

SERIE.

Serie numeriche:

convergenza assoluta: oppure maggiorazione con serie conosciute convergenti

convergenza semplice: se convergema non

Serie di funzioni:

Se è una successione di funzioni continue nell'intervallo I = [a, b] tali che

• 
• 

allora converge uniformemente ad in I

Serie di potenze:

le serie di potenze convergono sempre in x=0

data una serie di potenze        

se ne possono ricavare altre per derivazione o integrazione, o per sostituzione

Le derivate e integrali convergono negli stessi intervalli

Il criterio del rapporto applicato a conduce a

come criterio di convergenza.

Il raggio di convergenza sarà