Un dispositivo "antigravitazionale": il piano inclinato

UN DISPOSITIVO "ANTIGRAVITAZIONALE": IL PIANO INCLINATO

In figura 2.9.1 è rappresentato un blocco pesante in tre situazioni diverse:

blocco libero

blocco completamente vincolato da un piano d'appoggio

blocco parzialmente vincolato da un piano inclinato

Quando il blocco è libero l'unica forza agente è la forza peso P applicata nel baricentro; se è vincolato da un piano orizzontale, oltre alla forza peso verso il basso, esiste anche una forza di reazione vincolare R uguale e contraria al peso e applicata sulla superficie di separazione blocco - pavimento (vedi paragrafo 2.2); se il blocco è appoggiato al piano inclinato, la reazione vincolare R del piano d'appoggio, dovendo essere ortogonale alle superfici in contatto, non ha la stessa direzione della forza peso (diretta invece sempre verso il basso), per cui riesce ad "annullare" il peso del blocco solo parzialmente. Quanto parzialmente? Vediamo:

scomponiamo il vettore forza peso P lungo le direzioni parallela ed ortogonale al piano; chiamiamo la componente parallela al piano Ppar e quella ortogonale Port. Una volta scomposto il vettore P nelle sue componenti possiamo "dimenticarci" di lui e far agire solo le sue componenti: i vettori agenti sul blocco sono dunque Port ,R e Ppar.

In direzione ortogonale al piano inclinato il blocco è "bloccato" dalla presenza del piano e non può muoversi:

se non si può muovere in direzione ortogonale è perché le forze ortogonali Port e R si bilanciano esattamente:

Port = R                     (2.9.1)

In direzione parallela al piano l'unica forza agente è Ppar, per cui il blocco tenderà a scivolare lungo il piano.

Diamo qualche formula: quanto vale Ppar?

Se guardiamo il triangolo rettangolo fatto dal vettore forza peso e dalle sue componenti, vediamo che P fa da ipotenusa e Ppar da cateto opposto a q: per ottenere Ppar devo allora moltiplicare P per sin(q); se voglio ottenere Port moltiplico invece P per cos(q

Ppar = P sin(q (2.9.2)

Port = P cos(q (2.9.3)

Notando la similitudine tra il triangolo fatto dal vettore peso e dalle sue componenti con quello del piano inclinato stesso potevamo anche scrivere

"Cateto del triangolo delle forze (Ppar) sta a cateto del triangolo del piano inclinato (H = altezza piano inclinato) come ipotenusa del triangolo delle forze (P) sta a ipotenusa del piano inclinato (L = lunghezza del piano inclinato)"

Ppar:H = P:L T Ppar = P H/L              (2.9.4)

(2.9.2) e (2.9.4) sono due formule alternative per trovare la forza che spinge i corpi lungo i piani inclinati.

ESEMPIO: un corpo con massa 200 Kg si trova su un piano inclinato di 30°. Trovare la forza peso, la componente del peso parallela e quella ortogonale al piano inclinato. Se volessi tenere fermo il corpo sul piano inclinato, con quale forza dovrei spingerlo? E se volessi fare in modo che si muova a velocità costante?

La forza peso vale (vedi (2.7.1))

P 2000 N (ho approssimato 9,8 con 10)

Ppar sin(30°) = 2000 0,5 = 1000 N

Port cos(30°) = 2000 0.8 = 1600 N

Port è bilanciato dalla reazione vincolare R del piano; se voglio che il blocco stia fermo devo esercitare una forza uguale e contraria a Ppar ovvero una forza di 1000 N verso la cima del piano inclinato.

Se voglio che il blocco risalga il piano a velocità costante, devo ricordare che "corpo fermo o in moto rettilineo uniforme = forza nulla (risultante nulla)": sono quindi nel caso precedente e mi basta esercitare una forza di 1000 N verso la cima del piano. Scommetto che vi sembra assurdo: occorre la stessa forza sia per tenere il blocco fermo che per farlo muovere (a velocità costante)! In realtà, partendo con il corpo fermo, devo esercitare inizialmente una forza superiore a 1000 N per vincere la componente Ppar che spinge verso il fondo del piano inclinato e poi, arrivato alla velocità che voglio mantenere costante, spingere con esattamente 1000 N. Insomma, i 1000 N richiesti per far muovere il blocco a velocità costante presuppongono che già il blocco si stia muovendo verso l'alto a quella velocità.

ESEMPIO: si vuole portare un blocco di granito di massa 1 tonnellata ad una altezza H di 10 metri mediante un piano inclinato di lunghezza 100 m. Trovare la forza Ppar e la forza necessaria a spingerlo su per il piano a velocità costante.

Questa volta usiamo, tanto per cambiare, i Kg_p come unità di misura delle forze.

1 tonnellata = 1000 Kg. Per la (2.7.2) P = 1000 Kg_p.

Usiamo (2.9.4) per trovare Ppar: Ppar = 1000 10/100 = 100 Kg_p.

Per spingerlo a velocità costante bisogna esercitare sul blocco una forza F che annulli Ppar (vedi esempio precedente): è dunque necessaria una forza F di 100 Kg_p verso la cima del piano, forza che può benissimo essere esercitata da due persone.

Questo esempio è per far capire che i piani inclinati sono da sempre un utile strumento (insieme alle carrucole vantaggiose) per sollevare grandi pesi. Quasi certamente furono usati nella costruzione delle piramidi d'Egitto.

ESEMPIO

Un blocco da 1 tonnellata posto su un piano inclinato di 5° è tenuto in equilibrio da un contrappeso; trovare la massa del contrappeso

Il sistema è in equilibrio, per cui la carrucola fissa "trasmette" il peso del contrappeso al blocco sul piano inclinato. Il blocco, poi, rimane in equilibrio quando la forza esercitata dalla fune uguaglia Ppar (date il nome giusto a ciascuno dei vettori disegnati in figura).

Quindi:

per avere l'equilibrio del blocco sul piano inclinato è necessario che la tensione della fune sia uguale e contraria a Ppar;

per avere l'equilibrio della carrucola fissa la tensione della fune ai due capi deve essere la stessa;

per avere l'equilibrio del contrappeso la tensione della fune deve essere uguale e contraria al suo peso.

In totale il peso del contrappeso deve uguagliare Ppar:

Ppar = 1000 Kg_p sin(5°) = 1000 0,087 = 87 Kg_p

Il contrappeso per tenere fermi 1000 Kg sul piano inclinato è di soli 87 Kg.