Oscillatore Armonico

Un moto di particolare interesse dal punto di vista matematico-fisico è sicuramente quello armonico; per ipotizzarlo basti pensare ad un blocco di massa M, a cui è attaccata una molla ideale, di costante elastica k e priva di massa, vincolata a sua volta ad una parete: con tali ipotesi è possibile immaginare un moto periodico, causato da una forza di richiamo costante nel tempo (data in questo caso dalla legge di Hooke: F= - kx, nel caso unidimensionale), che descrive un'oscillazione completa in un tempo detto periodo (T).

L'analisi matematica di tale fenomeno si ottiene uguagliando la forza di richiamo alla "Forza" data dalla seconda legge di Newton:

Ma = - kx a si può scrivere come , per cui

M = - kx         o ancora meglio + x = 0

Quest'ultima espressione rappresenta un equazione differenziale di secondo ordine, non omogenea, la cui soluzione "potrebbe essere" una funzione trigonometrica; è lecito ipotizzare ciò in quanto la funzione di questo tipo è caratterizzata dal fatto di avere la derivata seconda uguale, a meno di qualche fattore, alla funzione stessa.

Ipotizziamo, perciò, di avere la funzione x = x_m cos(wt+Φ), e deriviamo:

= - w x_m sin (wt+ e

= - w² x_m cos (wt+

Ritorniamo all'equazione differenziale, e sostituiamo i valori ottenuti:

- w² x_m cos (wt+ x_m cos(wt+Φ)

da cui otteniamo la relazione w²  = , o meglio w = , chiamata "frequenza angolare" o "pulsazione".

x_m rappresenta l'ampiezza massima dell'oscillazione; Φ invece è detta costante di fase, e rappresenta lo "spostamento temporale" del moto.

w = 2π /T oppure w = 2 π ν dove ν è la frequenza, ovvero l'inverso del periodo ν = 1/T.

Invertendo tali relazioni otteniamo T = 2π/w

Una volta chiarita tale teoria, andiamo ad analizzarne le applicazioni pratiche, tra cui le più importanti sono: il Pendolo di Torsione, il Pendolo Semplice e quello Fisico.

• Il pendolo semplice è un modello fisico ideale, non esistente in natura.

E' costituito da un filo rigido, inestensibile, di massa trascurabile, vincolato ad un'estremità,

mentre all'altra è attaccata una massa; il moto

avviene in un piano verticale.

Le forze in gioco sono: (1)Mg, la forza peso; questa si può scomporre lungo due direzioni: (2)Mg cosα, la componente lungo l'asse del pendolo; (3)Mg sinα, la componente radiale.

La componente 2 è equilibrata dalla tensione del filo, quindi non ha nessuna influenza sul moto; la componente 3 invece rappresenta la forza di richiamo che caratterizza il moto armonico del sistema.

Introducendo questa relazione nelle equazioni sopra riportate otteniamo:

M= - Mg sin α

A questo punto possiamo fare una considerazione: per "piccoli" spostamenti angolari, il seno di un angolo può essere approssimato al valore dell'angolo [Tramite le formule di Taylor, o di Mc Laurin, ove è possibile], per cui sin α ≈ α.

Ma α, per la definizione di radiante, è dato dal rapporto dello spostamento x, e del raggio [che in questo caso è L (lunghezza del filo)].

Quindi la relazione finale sarà:

M= - Mg x/L             che semplificata è: + (g/L)x = 0

In questa espressione w =, e di conseguenza il periodo T = 2π/w = = 2π

• Il pendolo fisico, a differenza di quello semplice, esiste in natura, e non è altro che qualunque corpo (di massa M), che ruota attorno ad un asse, momento d'inerzia I, distante d dal centro di massa (con d ≠ 0).

Ricalcando il ragionamento fatto sopra, otteniamo la relazione

I = - Mdg α         w = e T = = 2π

Se ora ipotizziamo di avere i due strumenti (pendolo semplice e fisico), con lo stesso periodo, otteniamo una relazione importante:

2π= 2π       da cui si ricava L =

definita lunghezza ridotta, cioè la distanza, dall'asse di rotazione, in cui si dovrebbe trovare tutta la massa del pendolo fisico, per essere considerato un pendolo semplice di periodo T.

Gravitazione

E' la mutua attrazione che si manifesta fra tutti i corpi dotati di massa all'interno di un campo gravitazionale.

Il termine gravità, spesso usato come sinonimo, si riferisce propriamente solo all'interazione gravitazionale fra la Terra e gli oggetti presenti sulla sua superficie o nelle sue vicinanze.

La legge di gravitazione universale, formulata da Isaac Newton nel 1684, afferma che l'attrazione gravitazionale tra due corpi è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro reciproca distanza. L'espressione algebrica di questa legge è:

dove F è la forza gravitazionale, m e m le masse dei due corpi, d la loro mutua distanza, e G la costante gravitazionale. Il valore di questa costante fu misurato per la prima volta dal fisico inglese Henry Cavendish nel 1798. Il valore attualmente riconosciuto è 6,67 × 10 N m kg

La forza di gravità che agisce su un oggetto si esprime come prodotto della massa dell'oggetto stesso e dell'accelerazione di gravità (g). All'equatore essa vale 9,7799 m/s , mentre ai poli misura più di 9,83 m/s . A livello internazionale si assume g = 9,80665 m/s

Pendolo di Kater

Con siffatte considerazioni è possibile chiarire il significato di un altro tipo di pendolo, detto di Kater (figura 1), attraverso il quale si può calcolare in modo empirico (e approssimativo), il valore del modulo dell'accelerazione di gravità g.

Tale strumento, detto anche pendolo reversibile, è costituito da un'asta rigida (in metallo), ai cui estremi sono fissati due coltelli (dalla superficie d'appoggio minima), con gli spigoli paralleli, distanti di una lunghezza nota [l] l'uno dall'altro.

Il baricentro deve trovarsi sulla congiungente di siffatti spigoli, e le sue distanze (h₁ e h₂), da ciascuno di essi, debbono essere diverse (h₁ ≠ h₂). Questa conclusione deriva dal seguente ragionamento.

Si considera l'insieme delle rette parallele all'asse di rotazione e solidali con il pendolo, e si vuole verificare se anche rette di questo insieme, oltre ai già citati assi in A e B, possono essere considerate tali; e in più con la condizione di avere lo stesso periodo che hanno in A e B.

Detto I_G il momento d'inerzia rispetto il baricentro G, un qualsiasi altro momento d'inerzia è dato dal Teorema di Stainer: I = I_G + mh².

Se ora consideriamo il periodo d'oscillazione rispetto tale asse, otteniamo:  

T =

Che confrontata con T = 2π, ci permette di scrivere che la lunghezza ridotta L è pari a:

L = , da cui si ricava un'equazione di secondo grado (in h):

h²- L h + I_G/m = 0 che ci fornisce due soluzioni h₁ e h₂.

Queste rappresentano le distanze del baricentro dai due assi A e B considerati in principio.

Dal punto di vista geometrico, se le soluzioni sono entrambe positive, esistono due cilindri circolari (figura 2), aventi come asse comune la retta baricentrica e come raggi le distanze h₁ e h₂. Le generatrici di tali cilindri possono essere scelte come assi di sospensioni, che verificano la condizione che il corpo, "appeso" per tali assi, avrà il medesimo periodo

T =

In tal modo le posizioni h₁ e h₂ caratterizzano quelli che sono definiti punti coniugati.

Su di una feritoia (F), presente sull'asta, si trovano due corpi (C e C'), la cui posizione può essere variata e vincolata a piacimento in punto qualsiasi del pendolo, in modo da poter modificare il momento d'inerzia del sistema.

ESPERIMENTO

Tema della prova

Misurare l'accelerazione di gravità g con il metodo del pendolo di Kater, supponendo trascurabili le pur numerose condizioni di disturbo: l'espressione con cui abbiamo descritto il periodo vale solamente nel caso limite di oscillazioni di ampiezza infinitamente piccola;

gli spigoli non sono rette ideali, bensì superfici curve che, durante il moto, rotolano e strisciano; i supporti non sono idealmente rigidi, partecipano al moto, anche se in minimo modo; con l'inversione, il pendolo subisce deformazioni elastiche; la distanza L subisce variazioni in funzione della temperatura; l'attrito dell'aria, che altera, se pur minimamente.

Tenendo conto di tali approssimazioni, bisognerà saper "apprezzare" la bontà della misurazione(*).

Materiale:

• Pendolo di Kater, con annessi i due corpi C e C', di masse rispettivamente 1.40 Kg e 1.00 Kg (definite dalla casa costruttrice), e di "lunghezza" (distanza tra i coltelli) 1.00 metri;
• Dispositivo a fotocellule, con annesso un cronometro preciso al millesimo di secondo, per registrare con accuratezza i periodi;
• Un metro, sensibile al millimetro.

Procedimento

Si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo del coltello A, e si misura il periodo T₁, del sistema in tale configurazione, in base alla durata di un certo numero n di oscillazioni complete.

Al crescere di n, diminuisce l'errore d'apprezzamento di T₁; questo ragionamento deriva dal fatto che in statistica lo scarto quadratico medio della media aritmetica è minore di quello della variabile:. Se t₁ è il tempo impiegato per le n^* oscillazioni, T₁ = .

In un secondo momento si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo dell'altro coltello B, ed analogamente si misura T₂.

In generale si troverà T₁ ≠ T₂. Allora, procedendo per tentativi, si sposta la massa C', collegata all'asta, che può scorrere lungo la feritoia, finchè la sua posizione determina l'uguaglianza dei due periodi.

Trovato il periodo comune T, la distanza nota L fra gli spigoli è la lunghezza ridotta del pendolo semplice corrispondente.

Dalla relazione: T = , si ricava :

g =

Questa relazione fornisce il valore sperimentale dell'accelerazione di gravità, noto la misura di T, e il valore di L (dato di solito dalla casa costruttrice del pendolo).

Nota: Si dovrebbe ripetere l'intera esperienza molte volte, per poi prendere la media aritmetica dei valori di g ottenuti. Se, viceversa, viene svolta solo una prova, assumiamo come errore la sensibilità delle misurazioni.

ε_g = 4π²      [Errore assoluto], o meglio [Errore relativo]

dove Δl e ΔT sono gli errori con cui conosciamo l e T.

Esperienza

Dati sperimentali

Distanza fra i coltelli(lunghezza): L = 1.000 metri;

Massa del corpo fisso: m_C = 1.00 Kg;

Massa del corpo mobile: m_C' = 1.40 Kg;

Procediamo quindi con la prima misurazione, ponendo la massa C' a 10 centimetri dal coltello inferiore (B), e il periodo che ne risulta dopo 25 oscillazioni è pari a 2.028 secondi. Invertendo l'asta, poniamo l'asse di rotazione nel coltello B, e alle stesse condizioni otteniamo 2.026 secondi.

La seconda misurazione viene fatta ponendo la massa a 20 centimetri da B: i valori ottenuti sono di 1.969 secondi per l'asse in A, e di 1.981 secondi nell'altra situazione.

Se ne deduce, senza ulteriori misurazioni, che la posizione cercata varia tra i 10 e i 20 cm dal punto B, e la motivazione è abbastanza semplice: i valori del periodo, in funzione della posizione, descrivono un andamento parabolico, e più precisamente la funzione nel primo caso è decrescente, mentre nel secondo è crescente; la loro intersezione si troverà nella zona 10-20 cm.

Seguitiamo con nuovi rilevamenti: ma diminuendo il "range d'azione", possiamo aumentare gli "step", spostando C' di un centimetro alla volta; consideriamo inoltre 40 oscillazioni, anziché 25. Ciò che ricaviamo è riassunto nella seguente tabella:

Ci accorgiamo che il grafico non rispecchia fedelmente la nostra previsione: non si evidenziano perfettamente due andamenti "parabolici"; le cause dell'imperfezione, come già rilevato (*), sono molteplici, e quindi possono essere rilevate solo nel loro insieme.

Operiamo quindi un ingrandimento del grafico in prossimità del punto d'intersezione, in modo da visualizzare in maniera più esplicita il periodo cercato. Un procedimento di questo tipo, solo un po' di tempo fa, andava fatto riportando il grafico sulla carta millimetrata, ed estrapolando da quest'ultima, in modo molto approssimativo, il valore cercato.

Oggi è possibile ricavarlo con un'elevatissima precisione attraverso il computer e i relativi programmi di "Best Fit".

Dall'estrapolazione del periodo, attraverso l'uso del computer, perveniamo al valore di: T = 2.007 secondi, e il punto in cui vi è l'intersezione è "esattamente" alla distanza di 13.4 centimetri dal punto B.

Di conseguenza, il valore "approssimativo" di g:

g = = 9.799 m/sec²

L'errore relativo è:

= 0.002/2.007 = 0.00099

Tale errore è trascurabile, in quanto il suo "valore" effettivo supera le cifre significative derivanti dalla formula. Il risultato, nei limiti dell'esperienza, è esatto e molto preciso.

Emanuele Umberto