Lavoro ed Energia

Lavoro

Lavoro eseguito da una forza costante

Il lavoro eseguito da una forza costante è definito come il prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento, per lo spostamento effettuato il un certo lasso di tempo.

L = F Ds

Essendo la componente dello spostamento uguale al prodotto della forza per il coseno dell'angolo della deviazione, il lavoro sarà uguale a:

L = F Ds cos J

Il lavoro quindi dipende da due componenti: lo spostamento e la forza: se non c'è spostamento allora non si sarà compiuto del lavoro. Ad esempio se si spinge una parete di mattoni non si compie un lavoro, ma si applica solamente una forza, in quanto non c'è spostamento.

Il lavoro sarà nullo anche se la forza è perpendicolare allo spostamento: infatti moltiplicando la forza per lo spostamento per il cos 90° esso sarà zero, in quanto cos 90° = 0. Quindi la forza di gravità non compie nessun lavoro su qualsiasi corpo perpendicolare ad essa.

Dalla direzione dello spostamento dipende anche il segno del lavoro. Ad esempio se lo spostamento compie un angolo di 45° con la forza, il lavoro sarà sicuramente positivo in quanto il cos 45° è positivo.

Ma se la forza è opposta allo spostamento, come per esempio lo può essere una forza d'attrito, il lavoro di questa forza sarà negativo in quanto cos 180° = 1. Il lavoro di una forza d'attrito quindi è:

L_a = - F Ds

Osserviamo ora l'unità di misura del lavoro:

L = N m  = Joule

Definiamo quindi Joule come il lavoro compiuto da una forza di 1 Newton per avere uno spostamento di 1 m.

Lavoro eseguito da una forza variabile

Le precedenti espressioni erano valide solamente se la forza era costante in modulo e verso. Supponiamo ora di avere un corpo che sotto effetto di una forza variabile si muove lungo l'asse delle x dal punto x_i al punto x_f

Se noi ora supponiamo di dividere in piccoli intervallino lo spostamento, possiamo intendere in questi piccoli intervallino la forza come costante. Il lavoro totale quindi approssimativamente sarà dato dalla sommatoria di tutti i lavori in tutti i piccoli intervalli Dx. Se questi intervallino tendono a 0 il lavoro totale della forza nello spostamento da x_i a x_f sarà:

lim a F_x Dx = ^xf F_x dx

Dx _xi

Quindi il lavoro di una forza variabile nel tempo è uguale all'integrale della forza in dx, cioè l'area sottesa alla funzione che rappresenta il lavoro nel grafico precedente.

Teorema dell'Energia Cinetica

Consideriamo ora il moto di un corpo spinto da una forza costante e che produce una accelerazione costante. Il suo lavoro è:

L = F s

Per il secondo il principio della dinamica sappiamo che l'accelerazione a è uguale al rapporto tra la forza subita e la massa del corpo:

La velocità in un moto uniformemente accelerato può essere data da:

v_t² = v_o² + 2 a s      ½ v_t² - ½ v_o² = _F_ s

m

Da cui:

F s = ½ mv_t² - ½ mv_o²                              L = E_c = ½ m Dv²

Quindi definiamo Energia Cinetica il prodotto di un mezzo della massa del corpo per il quadrato della velocità.

L'equazione precedente si può anche scrivere:

L = Ec_f - Ec_i

Questa formula rappresenta il Teorema dell'Energia Cinetica che dice che il lavoro eseguito da una forza costante F nello spostare una particella di massa m è uguale alla variazione di Energia Cinetica della particella.

Se la Forza agente sul corpo non è costante il lavoro totale è:

L = ^vf m v dv

_vi

Il Teorema dell'energia Cinetica può essere enunciato anche in un altro modo: Il lavoro totale eseguito su una particella dalla risultante delle forze che agiscono su di essa è uguale alla variazione di Energia Cinetica (il lavoro quindi può essere positivo, negativo o nullo a secondo della direzione della risultante delle forze rispetto allo spostamento).

Forze Conservative e non conservative

Una forza si dice conservativa se il lavoro fatto da questa forza agente su una particella che si muove tra due punti è indipendente dalla traiettoria seguita dalla particella tra i punti, cioè il lavoro fatto da una forza su una particella è uguale soltanto alle coordinate iniziali e alle coordinate finali della stessa.

Un'altra proprietà fondamentale è che il lavoro fatto da una forza conservativa su una particella è nullo quando la particella si muove lungo una qualsiasi traiettoria chiusa e ritorna alla sua posizione iniziale.

La particella movendosi da un punto P a un punto Q qualsiasi seguendo una certa traiettoria, compirà un certo lavoro che è l'opposto del lavoro compiuto dalla stessa forza da Q a P seguendo un'altra traiettoria. Esempi di forze conservative sono la forza elettrostatica, la forza di richiamo di una molla e la forza di gravità.

Viceversa diremo che una forza non è conservativa quando il lavoro eseguito da questa forza su una particella che si muove tra due punti dipende dalla traiettoria seguita. Esempi di forze non conservative sono le forze di attrito.

Energia Potenziale

Abbiamo ora una particella ad una certa altezza h_i che deve raggiungere un'altezza inferiore h_f: essa lo fa attraverso due percorsi.

h

1

h_{i A B}

2

h_{f D C}

0 s

Il lavoro attraverso il percorso 2 è:

L = mg (h_f - h_i) = mgh_f - mgh_i

Il lavoro attraverso il percorso 1 è:

L = 0 + mg (h_f - h_i) + 0 = mgh_f - mgh_i

In quanto da A a B e da C a D il lavoro è nullo perché lo spostamento è perpendicolare alla forza (in questo caso la forza di gravità).

Più in generale quindi il lavoro compiuto dalla forza peso quando il corpo cade da un'altezzza iniziale h_i a un'altezza finale h_f è uguale a:

L = mgh_f - mgh_i

qualunque sia il suo percorso.

Quindi ponendo l'energia potenziale U uguale al lavoro che compie una forza su un peso che cade da un'altezza h, essa sarà uguale a

L = DU = U_f - U_i      U = mg Dh     L= DU = mgh_f - mgh_f

DU = U_f - U_i =  - ^hf F_x dx

_hi

Quindi il lavoro compiuto da una forza conservativa è uguale alla variazione di energia potenziale associata alla forza.

Principio di conservazione dell'energia meccanica

Abbiamo quindi che il lavoro, per il Teorema dell'Energia Cinetica, è uguale a:

L = DE = ½ mv_f² - ½ mv_i²

Ma sappiamo anche il lavoro è uguale all'energia potenziale di un corpo:

L= DU = mgh_f - mgh_f

Quindi, essendo uguali i primi membri saranno uguali i secondi membri:

DE = DU        ½ mv_f² - ½ mv_i² = mgh_f - mgh_f

½ mv_f² + mgh_f = ½ mv_i² + mgh_i

La legge di conservazione dell'energia meccanica quindi stabilisce che l'energia meccanica di un sistema rimane costante se la sola forza che compie lavoro è una forza conservativa. Ciò è equivalente all'affermazione che se l'energia cinetica di un sistema conservativo aumenta di una certa quantità, l'energia potenziale deve diminuire della stessa quantità (o viceversa).