Determinazione del momento d'inerzia di un pendolo

RELAZIONE SULLA TERZA ESPERIENZA DI LABORATORIO

Determinazione del momento d'inerzia di un pendolo.

SCOPO DELLA PROVA

Lo scopo dell'esperienza è quello di andare a misurare il momento d'inerzia di un pendolo semplice tramite due metodi diversi( analitico ed indiretto) per poi confrontarne i risultati. In particolare si andrà a rilevare prima il periodo di oscillazione del pendolo in funzione della distanza che intercorre tra massa mobile e poi si troverà il centro di massa mobile nonché del baricentro del pendolo rispetto al punto di sospensione.

CENNI TEORICI:

I° metodo di calcolo

Partiamo dalla seguente relazione:

I = (T²/4π²)×m×g×r

Questa relazione ci permette di determinare I partendo da tre quantità misurabili: T, m, r. Il valore di g si suppone invece noto. In pratica useremo come corpo esteso un pendolo di Kater. Esso è costituito (vedi figura seguente)

da una sbarra su cui sono montate due masse a forma di disco che possono scorrere lungo la sbarra

e da due coltelli che fungono da punti di sospensione. Nel nostro esperimento verrà utilizzato uno

solo dei due coltelli per sospendere il pendolo, mentre l'altro rimarrà inutilizzato. Una delle due

masse sarà considerata come fissa e la sua posizione rimarrà sempre la stessa. L'altra massa verrà

invece spostata: in pratica per ogni posizione della massa mobile otteniamo un diverso 'corpo

esteso' con un diverso valore del momento d'inerzia rispetto all'asse di sospensione. Questo ci

permetterà di studiare come varia il momento d'inerzia del corpo in funzione della posizione della massa mobile. Questa operazione è stata ripetuta più volte in modo tale da avere 10 rilevazioni per effettuare il calcolo successivo.

Chiamiamo d la distanza del centro del disco mobile dal punto di sospensione. Sia T che r sono

funzioni di d, mentre m è indipendente da essa. Possiamo quindi scrivere:

I(d) =( g/4π²)m × T²(d) ×r(d)

Dove m sarà misurata una volta per tutte con una bilancia; T e r di volta in volta al cambiare di d (T  con un cronometro, r con un metro) il tutto ripetuto 10 volte per ottenere il campione di misurazioni. Si ricordi inoltre che per ottenere una più accurata misura del periodo ad ogni posizione della massa mobile sono state rilevate 10 misurazioni di periodi ottenendo poi una media. L'accelerazione di gravità g sarà invece considerata nota e pari a 9.81 m/s2. La posizione r del centro di massa del pendolo si trova come segue: si pone la sbarra del pendolo su di un tondino e la si sposta fino a raggiungere l'equilibrio (instabile) con la sbarra in posizione orizzontale. Con un pennarello si segna il punto di contatto tra la sbarra e il tondino e si misura la sua distanza dal punto di sospensione. La posizione d del centro del disco mobile si ottiene come segue: si misura con un metro la distanza tra il punto di sospensione e il bordo più vicino del disco (anche qui risulta comodo segnare questa posizione con il pennarello), e le si somma metà del diametro del disco, misurata con un calibro. Si procederà quindi al riempimento di una tabella riassuntiva di tutti i dati rilevati con il rispettivo calcolo del momento d'inerzia risultante.

In realtà non servirebbe misurare d per determinare I, ma è preferibile farlo, perché questo ci

permette di confrontare le misure con quelle ottenute con il secondo metodo e avere così una

conferma indipendente della loro bontà.

Determinazione dell'errore:

Per la determinazione dell'errore utilizziamo la formula dell'errore relativo massimo.

Dati i valori delle grandezze in gioco e le stime degli errori delle grandezze misurate direttamente,

otteniamo per l'errore relativo sul momento d'inerzia un valore inferiore al 2%. Questo corrisponde

sul grafico ad una differenza di valori minore od uguale alle dimensioni del quadratino che

rappresenta i dati.

II metodo di calcolo

In questo metodo si parte dalla definizione del momento d'inerzia. Per un corpo composto come il

pendolo si fa la somma dei momenti della sbarra e dei due dischi calcolati rispetto all'asse di

rotazione. Nel far questo dobbiamo ricordare il teorema di Steiner che permette di determinare il

momento d'inerzia rispetto ad un asse non baricentrico, purché sia noto il momento rispetto all'asse

baricentrico parallelo al primo asse, la distanza d tra i due assi e la massa m del corpo. Di nuovo è il centro di massa dei dischi, e non del pendolo, che stiamo considerando. Si noti che d = dm = . In prima approssimazione supporremo trascurabili i momenti di inerzia dei dischi rispetto al baricentro. Le masse dei due dischi non possono essere misurate senza smontare il pendolo, ma il loro valore è stato misurato una volta per tutte e impresso sui dischi stessi prima del montaggio, si suppone quindi noto il loro valore (pari a 0.76 kg per entrambi). E' allora sufficiente misurare la lunghezza della sbarra e la sua massa (per differenza tra la massa totale del pendolo e le masse dei dischi) e le distanze dei centri della sbarra e dei dischi dal punto di sospensione. In definitiva otteniamo:

ovvero I totale(d ) = A+Bd²  ove A e B sono due costanti caratteristiche del pendolo. Ci aspettiamo

dunque che il momento d'inerzia sia una funzione quadratica della distanza d.

MATERIALI E STRUMENTI UTILIZZATI:

Materiali:

Per quanto riguarda i materiali necessari allo svolgimento della prova di laboratorio possiamo dire che è stato sufficiente il pendolo.

Strumenti:

Per la strumentazione invece, abbiamo usufruito di diverse attrezzature ed in particolare:

1. Calibro ventesimale
2. Metro
3. Cronometro

Attrezzature particolari non sono state necessarie

MISURE ED ELABORAZIONE DATI:

1. I° Metodo

Per il corretto svolgimento di questa parte dell'esperienza è stato necessario seguire un determinato procedimento. In particolare, dopo aver rilevato tutte le misure caratteristiche del pendolo, si è passati alla fase di rilevazione vera e propria dove sono state considerate dieci diverse posizioni della massa mobile lungo l'asta del pendolo. Per ognuna di queste posizioni, dopo aver preventivamente stabilito l'ampiezza di oscillazione (la quale è fissa per tutte le 10 posizioni), si procedeva con la rilevazione dei periodi o più precisamente di dieci periodi per ogni valore di distanza. Una volta terminata questa fase di rilevazione si è passati al calcolo vero e proprio del momento d'inerzia con il suo rispettivo errore.  Di seguito saranno riportate in tabella, tutte le rilevazioni eseguite nonché il risultante valore del momento d'inerzia ed in grafico il valore del momento stesso in rapporto alla distanza del centro di massa.

Dati rilevati durante la prova:

m = 3,287 Kg

d = 0,085 m

L_s = 1,4 m

m_df = m_dm = 0,76 Kg

m_s = m - m_df - m_dm = 1,767 Kg

d_f =0,265 m

d_s = o,382 m

Angolo = 12,5°

Centro Massa = 0,7 m

Tabella delle rilevazioni:

Grafico del I° Metodo:

2. II° Metodo

Il secondo metodo, essendo esclusivamente analitico non prevedeva fasi di rilevazione dati e quindi lo svolgimento di questa parte consisteva nel andare ad utilizzare i valori della distanza rilevati per il metodo precedente e poi applicarne il calcolo del secondo metodo già precedentemente descritto.

Anche in questo caso di seguito viene allegato il grafico risultante dal calcolo del secondo momento d'inerzia.

Grafico del II° Metodo:

3. Confronto tra i due metodi

Questa fase dell'esperienza prevede l'esclusiva realizzazione di un grafico contenente entrambe le curve ottenute in modo tale da poterne fare un immediato confronto visivo.

Di seguito il grafico risultante:

Grafico dei 2 Metodi:

4. Stima massa dischi

Lo scopo di questa fase della prova consiste nel risalire alla massa del disco mobile per via analitica. Per fare ciò abbiamo tracciato in grafico i valori di r in funzione di quelli di d. Successivamente tramite le opportune funzioni di EXCEL abbiamo ricavato il valore del coefficiente angolare della retta di tendenza per poi risalire al valore della massa andandolo a confrontare con quello teorico. Di seguito viene riportato il suddetto grafico.

Grafico delle rette:

Dal grafico si ottiene la seguente equazione della linea di tendenza:

Y = 0,2286X + 0,144

Da cui risaliamo grazie al coefficiente angolare alla massa del disco mobile:

m = m(tot) × coeff. Ang. = 3.287 Kg × 0,2286 = 0,75141 kg

Massa calcolata = 0,75141 kg   Massa teorica 0,760 kg

CONCLUSIONI:

In conclusione analizzando i risultati ottenuti in merito ai momenti d'inerzia possiamo facilmente notare uno scostamento tra i due metodi di calcolo approssimativamente trascurabile. Tutto ciò è facilmente riscontrabile dall'analisi dei grafici dove si nota la quasi perfetta sovrapposizione delle curve dei momenti d'inerzia. Come si voleva dimostrare, si può notare che misurando analiticamente un valore, in questo caso un momento d'inerzia di un pendolo semplice il suo errore sarà nettamente  minore rispetto alla stessa misura ottenuta per via indiretta, ovvero con la rilevazione di un campione di misurazioni da analizzare ed elaborare successivamente, come era lecito attendersi, poiché nelle misure indirette l'errore è dato dall'interazione degli errori della singola misura, incrementando in maniera notevole lo scarto dal valore corretto della misura.

Certamente per riuscire ad ottenere un miglioramento sensibile dei risultati è necessario l'utilizzo di strumentazioni decisamente più precise di quella da noi utilizzate; per quanto riguarda invece i problemi di carattere puramente fisico possiamo dire di non averne riscontrati in quanto gli scostamenti riscontrati nei risultati ottenuti sembrano essere conseguenza di errori dovuti, come detto in precedenza, solamente agli errori degli strumenti ed gli errori nelle misurazioni.

Un ulteriore problema riscontrato è l'imprecisa visualizzazione dell'errore sul grafico a causa di una scala che non ne permette una migliore visualizzazione.

Infine dall'esecuzione della prova possiamo dire che la scelta del metodo di calcolo non incide particolarmente sul risultato finale della prova stessa.